Страница 61 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

182. а) Какое числовое выражение имеет смысл?

б) Какое числовое выражение не имеет смысла?

в) Может ли числовое выражение состоять из одного числа?

а) Числовое выражение имеет смысл, если все указанные в нем действия можно выполнить. Основным правилом, определяющим, имеет ли выражение смысл, является отсутствие деления на ноль. Если в выражении нет операций деления на ноль, то оно считается осмысленным, и можно найти его значение – число, которое получается в результате выполнения всех действий.

Например, выражение $(5 + 10) : 3$ имеет смысл. Сначала выполняется действие в скобках: $5 + 10 = 15$. Затем результат делится на 3: $15 : 3 = 5$. Все действия выполнимы, значит, выражение имеет смысл, и его значение равно 5.

Ответ: Числовое выражение имеет смысл, если все входящие в него математические операции выполнимы (в частности, если оно не содержит деления на ноль).

б) Числовое выражение не имеет смысла, если в его записи присутствует хотя бы одна математически невыполнимая операция. В школьном курсе математики такой операцией является деление на ноль. Если при вычислении значения выражения (согласно порядку действий) на каком-то шаге требуется разделить число на ноль, то говорят, что всё выражение не имеет смысла.

Например, выражение $8 : (4 \cdot 2 - 8)$ не имеет смысла. По порядку действий сначала вычисляем значение в скобках. Умножение: $4 \cdot 2 = 8$. Затем вычитание: $8 - 8 = 0$. Выражение превращается в $8 : 0$. Так как делить на ноль нельзя, исходное выражение не имеет смысла.

Ответ: Числовое выражение не имеет смысла, если оно содержит невыполнимые действия, прежде всего — деление на ноль.

в) Да, числовое выражение может состоять из одного-единственного числа. Числовое выражение — это любая запись, состоящая из чисел, знаков арифметических действий и скобок, которая имеет значение. Отдельно взятое число является простейшим случаем такого выражения. Оно уже имеет определенное значение (равное самому себе), и для его нахождения не требуется выполнять никаких вычислений.

Например, запись `17` — это числовое выражение, значение которого равно 17. Точно так же `-5.3` или `0` являются числовыми выражениями.

Ответ: Да, может. Одно число является простейшим видом числового выражения.

183. Найдите значение числового выражения:

а) $2 : \left(-6 \frac{7}{13} + 3 \frac{17}{39}\right)$;

б) $\left(3,5 \cdot 24 - 5 \frac{2}{3} : \frac{1}{18}\right) \cdot 5$;

в) $3 \cdot \left(5 \frac{4}{9} - 6 \frac{5}{18}\right)$;

г) $\left(-12 \frac{2}{3}\right) : 3 \frac{1}{6} + 13,5 : 4,5$;

д) $6 \cdot (-1,25) + (-4) : \left(-1 \frac{1}{3}\right)$;

е) $\left(4,3 - 5 \frac{4}{15}\right) \cdot 4 \frac{4}{29} - 2,5 \cdot 2.$

а) $2 : \left(-6\frac{7}{13} + 3\frac{17}{39}\right)$
Сначала выполним действие в скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 39.
$ -6\frac{7}{13} + 3\frac{17}{39} = -6\frac{7 \cdot 3}{13 \cdot 3} + 3\frac{17}{39} = -6\frac{21}{39} + 3\frac{17}{39} $
Представим смешанные числа в виде неправильных дробей, чтобы избежать ошибок при вычитании.
$ -6\frac{21}{39} = -\frac{6 \cdot 39 + 21}{39} = -\frac{234 + 21}{39} = -\frac{255}{39} $
$ 3\frac{17}{39} = \frac{3 \cdot 39 + 17}{39} = \frac{117 + 17}{39} = \frac{134}{39} $
Теперь сложим полученные дроби:
$ -\frac{255}{39} + \frac{134}{39} = \frac{-255 + 134}{39} = -\frac{121}{39} $
Теперь выполним деление:
$ 2 : \left(-\frac{121}{39}\right) = 2 \cdot \left(-\frac{39}{121}\right) = -\frac{2 \cdot 39}{121} = -\frac{78}{121} $
Ответ: $-\frac{78}{121}$

б) $\left(3,5 \cdot 24 - 5\frac{2}{3} : \frac{1}{18}\right) \cdot 5$
Выполним действия в скобках, соблюдая порядок операций.
1. Умножение: $3,5 \cdot 24 = \frac{7}{2} \cdot 24 = 7 \cdot 12 = 84$.
2. Деление: $5\frac{2}{3} : \frac{1}{18} = \frac{17}{3} \cdot \frac{18}{1} = 17 \cdot 6 = 102$.
3. Вычитание: $84 - 102 = -18$.
Теперь результат в скобках умножим на 5:
$-18 \cdot 5 = -90$.
Ответ: -90

в) $3 \cdot \left(5\frac{4}{9} - 6\frac{5}{18}\right)$
Сначала выполним вычитание в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 18.
$ 5\frac{4}{9} - 6\frac{5}{18} = 5\frac{4 \cdot 2}{9 \cdot 2} - 6\frac{5}{18} = 5\frac{8}{18} - 6\frac{5}{18} $
Перейдем к неправильным дробям:
$ \frac{5 \cdot 18 + 8}{18} - \frac{6 \cdot 18 + 5}{18} = \frac{98}{18} - \frac{113}{18} = \frac{98 - 113}{18} = -\frac{15}{18} $
Сократим дробь: $-\frac{15}{18} = -\frac{5}{6}$.
Теперь выполним умножение:
$ 3 \cdot \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{3 \cdot 5}{6} = -\frac{15}{6} = -\frac{5}{2} = -2,5 $.
Ответ: -2,5

г) $\left(-12\frac{2}{3} : 3\frac{1}{6} + 13,5\right) : 4,5$
Выполним действия в скобках.
1. Деление. Переведем смешанные числа в неправильные дроби:
$ -12\frac{2}{3} : 3\frac{1}{6} = -\frac{38}{3} : \frac{19}{6} = -\frac{38}{3} \cdot \frac{6}{19} = -\frac{38 \cdot 6}{3 \cdot 19} = -\frac{2 \cdot 19 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 19} = -4 $.
2. Сложение: $-4 + 13,5 = 9,5$.
Теперь выполним деление результата на 4,5:
$ 9,5 : 4,5 = \frac{9,5}{4,5} = \frac{95}{45} = \frac{19 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{19}{9} = 2\frac{1}{9} $.
Ответ: $2\frac{1}{9}$

д) $6 \cdot (-1,25) + (-4) : \left(-1\frac{1}{3}\right)$
Выполним действия в соответствии с порядком операций.
1. Умножение: $6 \cdot (-1,25) = 6 \cdot (-\frac{125}{100}) = 6 \cdot (-\frac{5}{4}) = -\frac{30}{4} = -7,5$.
2. Деление: $(-4) : \left(-1\frac{1}{3}\right) = (-4) : \left(-\frac{4}{3}\right) = 4 \cdot \frac{3}{4} = 3$.
3. Сложение: $-7,5 + 3 = -4,5$.
Ответ: -4,5

е) $\left(4,3 - 5\frac{4}{15}\right) \cdot 4\frac{4}{29} - 2,5 \cdot 2$
Выполним действия по порядку.
1. Действие в скобках. Переведем десятичную дробь в смешанное число и приведем к общему знаменателю.
$ 4,3 - 5\frac{4}{15} = 4\frac{3}{10} - 5\frac{4}{15} = 4\frac{9}{30} - 5\frac{8}{30} $
$ (4-5) + \left(\frac{9}{30} - \frac{8}{30}\right) = -1 + \frac{1}{30} = -\frac{29}{30} $.
2. Умножение результата из скобок на $4\frac{4}{29}$:
$ \left(-\frac{29}{30}\right) \cdot 4\frac{4}{29} = \left(-\frac{29}{30}\right) \cdot \frac{4 \cdot 29 + 4}{29} = \left(-\frac{29}{30}\right) \cdot \frac{120}{29} = -\frac{120}{30} = -4 $.
3. Второе умножение: $2,5 \cdot 2 = 5$.
4. Вычитание: $-4 - 5 = -9$.
Ответ: -9

184. Установите, какие из следующих выражений имеют смысл и какие — не имеют. Для выражений, имеющих смысл, найдите их числовые значения:

а) $\frac{4\frac{1}{3} + 5,4 - 0,2(6)}{0,0(23) - 0,1} : \left(-5 + 7\frac{2}{3} - 2\frac{2}{3}\right);$

б) $3\frac{1}{7} + 1\frac{1}{4} \cdot \left(75 : \frac{25}{3} - 14\right) \cdot \frac{4}{7};$

в) $\left(\frac{3,(4) + 6\frac{5}{9}}{5\frac{7}{8} - 2\frac{1}{4} - 0,5} : \left(12\frac{8}{11} - 8\frac{50}{99}\right)\right) \cdot \left(2\frac{3}{8} - 1\frac{5}{8}\right).$

а) Рассмотрим выражение $ \frac{4\frac{1}{3} + 5,4 - 0,2(6)}{0,0(23) - 0,1} : \left(-5 + 7\frac{2}{3} - 2\frac{2}{3}\right) $.
Выражение имеет смысл, если все делители отличны от нуля. Проверим делитель во второй части выражения, который находится в скобках:
$ -5 + 7\frac{2}{3} - 2\frac{2}{3} = -5 + (7\frac{2}{3} - 2\frac{2}{3}) = -5 + 5 = 0 $.
Поскольку деление на ноль является недопустимой операцией, данное выражение не имеет смысла.
Ответ: Выражение не имеет смысла.

б) Рассмотрим выражение $ 3\frac{1}{7} + 1\frac{1}{4} \cdot \left(75 : \frac{25}{3} - 14\right) \cdot \frac{4}{7} $.
Все операции в данном выражении определены (делитель $ \frac{25}{3} \neq 0 $), следовательно, оно имеет смысл. Найдем его значение, соблюдая порядок действий.
1. Выполним действия в скобках:
$ 75 : \frac{25}{3} = 75 \cdot \frac{3}{25} = \frac{75 \cdot 3}{25} = 3 \cdot 3 = 9 $.
$ 9 - 14 = -5 $.
2. Теперь выполним умножение:
$ 1\frac{1}{4} \cdot (-5) \cdot \frac{4}{7} = \frac{5}{4} \cdot (-5) \cdot \frac{4}{7} = -\frac{5 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 7} = -\frac{25}{7} $.
3. Выполним сложение:
$ 3\frac{1}{7} + (-\frac{25}{7}) = \frac{22}{7} - \frac{25}{7} = \frac{22-25}{7} = -\frac{3}{7} $.
Ответ: $ -\frac{3}{7} $.

в) Рассмотрим выражение $ \left(\frac{3,(4) + 6\frac{5}{9}}{5\frac{7}{8} - 2\frac{1}{4} - 0,5} : \left(12\frac{8}{11} - 8\frac{50}{99}\right)\right) \cdot \left(2\frac{3}{8} - 1\frac{5}{8}\right) $.
Выражение имеет смысл, так как все делители отличны от нуля. Найдем его значение. Для этого сначала преобразуем все числа в обыкновенные дроби.
$ 3,(4) = 3 + 0,(4) = 3 + \frac{4}{9} = 3\frac{4}{9} $.
$ 0,5 = \frac{1}{2} $.
Выполним действия по порядку:
1. Вычислим числитель первой дроби:
$ 3,(4) + 6\frac{5}{9} = 3\frac{4}{9} + 6\frac{5}{9} = (3+6) + (\frac{4}{9} + \frac{5}{9}) = 9 + \frac{9}{9} = 9+1 = 10 $.
2. Вычислим знаменатель первой дроби:
$ 5\frac{7}{8} - 2\frac{1}{4} - 0,5 = 5\frac{7}{8} - 2\frac{2}{8} - \frac{4}{8} = (5-2) + (\frac{7}{8} - \frac{2}{8}) - \frac{4}{8} = 3\frac{5}{8} - \frac{4}{8} = 3\frac{1}{8} = \frac{25}{8} $.
3. Вычислим значение первой большой дроби (деление числителя на знаменатель):
$ 10 : \frac{25}{8} = 10 \cdot \frac{8}{25} = \frac{10 \cdot 8}{25} = \frac{2 \cdot 8}{5} = \frac{16}{5} $.
4. Вычислим значение первых скобок (делитель):
$ 12\frac{8}{11} - 8\frac{50}{99} = 12\frac{72}{99} - 8\frac{50}{99} = (12-8) + (\frac{72-50}{99}) = 4\frac{22}{99} = 4\frac{2}{9} = \frac{38}{9} $.
5. Вычислим значение вторых скобок (множитель):
$ 2\frac{3}{8} - 1\frac{5}{8} = \frac{19}{8} - \frac{13}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4} $.
6. Объединим полученные результаты и вычислим окончательное значение:
$ \left(\frac{16}{5} : \frac{38}{9}\right) \cdot \frac{3}{4} = \left(\frac{16}{5} \cdot \frac{9}{38}\right) \cdot \frac{3}{4} = \frac{16 \cdot 9}{5 \cdot 38} \cdot \frac{3}{4} = \frac{8 \cdot 9}{5 \cdot 19} \cdot \frac{3}{4} = \frac{72}{95} \cdot \frac{3}{4} = \frac{18 \cdot 3}{95} = \frac{54}{95} $.
Ответ: $ \frac{54}{95} $.