Страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

174. Докажите признак делимости: число $a = \overline{a_5 \ldots a_2 a_1 a_0}$ делится на 11, если сумма

$a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5$

делится на 11.

Доказательство:

Пусть дано число $a = \overline{a_5a_4a_3a_2a_1a_0}$. Черта над выражением означает, что это позиционная запись числа, а не произведение. Представим число $a$ в виде суммы разрядных слагаемых:

$a = a_5 \cdot 10^5 + a_4 \cdot 10^4 + a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10^1 + a_0$

Рассмотрим знакопеременную сумму его цифр $S$, заданную в условии:

$S = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5$

Теперь выразим $a$ через $S$. Для этого будем использовать тот факт, что степени числа 10 можно представить в виде чисел, близких к кратным 11. Например: $10 = 11 - 1$; $100 = 99 + 1 = 9 \cdot 11 + 1$; $1000 = 1001 - 1 = 91 \cdot 11 - 1$; и так далее. В общем виде, $10^k$ при делении на 11 дает остаток 1, если $k$ четное, и остаток -1 (или 10), если $k$ нечетное. Это можно записать с помощью сравнений по модулю 11: $10 \equiv -1 \pmod{11}$, следовательно, $10^k \equiv (-1)^k \pmod{11}$.

Подставим эти представления в разложение числа $a$:

$a = a_5(100001 - 1) + a_4(9999 + 1) + a_3(1001 - 1) + a_2(99 + 1) + a_1(11 - 1) + a_0$

$a = a_5(9091 \cdot 11 - 1) + a_4(909 \cdot 11 + 1) + a_3(91 \cdot 11 - 1) + a_2(9 \cdot 11 + 1) + a_1(1 \cdot 11 - 1) + a_0$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$a = (a_5 \cdot 9091 \cdot 11 + a_4 \cdot 909 \cdot 11 + a_3 \cdot 91 \cdot 11 + a_2 \cdot 9 \cdot 11 + a_1 \cdot 11) + (-a_5 + a_4 - a_3 + a_2 - a_1 + a_0)$

Первая группа слагаемых представляет собой сумму произведений, каждое из которых делится на 11. Вынесем 11 за скобку:

$a = 11 \cdot (9091a_5 + 909a_4 + 91a_3 + 9a_2 + a_1) + (a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5)$

Обозначим выражение в первых скобках как целое число $K$. Выражение во вторых скобках — это в точности сумма $S$:

$a = 11K + S$

Из этого равенства видно, что число $a$ является суммой двух слагаемых. Первое слагаемое, $11K$, очевидно, делится на 11. Следовательно, число $a$ будет делиться на 11 тогда и только тогда, когда второе слагаемое, $S$, также делится на 11.

Таким образом, признак делимости доказан. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на представлении числа $a = \overline{a_n...a_0}$ в виде $a = \sum_{k=0}^{n} a_k 10^k$. Используя свойство, что $10^k$ при делении на 11 дает тот же остаток, что и $(-1)^k$, мы можем записать $a$ в виде $a = 11M + S$, где $M$ — некоторое целое число, а $S = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + ... + (-1)^n a_n$ — знакопеременная сумма цифр числа. Из этого представления следует, что $a$ делится на 11 тогда и только тогда, когда $S$ делится на 11.

175. Придумайте и докажите признак делимости:

а) на 125;

б) на 8.

а) на 125

Сформулируем признак делимости на 125:
Число делится на 125 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 125.
Например, число 5375 делится на 125, так как число 375 делится на 125 ($375 = 3 \cdot 125$). Число 12345 не делится на 125, так как 345 не делится на 125.

Доказательство:
Любое натуральное число $N$, имеющее более трех цифр, можно представить в виде суммы:
$N = 1000 \cdot A + B$
где $B$ — это число, образованное тремя последними цифрами числа $N$ (остаток от деления $N$ на 1000), а $A$ — это число, образованное всеми остальными цифрами (результат целочисленного деления $N$ на 1000). Например, для числа 54321, $A = 54$, $B = 321$.

Рассмотрим первое слагаемое $1000 \cdot A$. Так как $1000 = 8 \cdot 125$, то число 1000 делится на 125 нацело. Следовательно, и произведение $1000 \cdot A$ делится на 125 для любого целого $A$.

Теперь рассмотрим всю сумму $N = 1000 \cdot A + B$.
Так как первое слагаемое ($1000 \cdot A$) делится на 125, то вся сумма будет делиться на 125 только в том случае, если второе слагаемое ($B$) тоже делится на 125.
Таким образом, делимость числа $N$ на 125 полностью определяется делимостью на 125 числа $B$, образованного его последними тремя цифрами. Что и требовалось доказать.

Возможные значения для последних трех цифр, которые делятся на 125, это: 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875.

Ответ: Число делится на 125, если число, образованное его последними тремя цифрами, делится на 125 (или если три его последние цифры — нули).

б) на 8

Сформулируем признак делимости на 8:
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.
Например, число 12536 делится на 8, так как 536 делится на 8 ($536 : 8 = 67$). Число 27130 не делится на 8, так как 130 не делится на 8.

Доказательство:
Доказательство аналогично предыдущему пункту. Любое натуральное число $N$, имеющее более трех цифр, можно представить в виде:
$N = 1000 \cdot A + B$
где $B$ — это число, образованное тремя последними цифрами числа $N$, а $A$ — число, образованное остальными цифрами.

Рассмотрим первое слагаемое $1000 \cdot A$. Так как $1000 = 125 \cdot 8$, то число 1000 делится на 8 нацело. Следовательно, произведение $1000 \cdot A$ также делится на 8 для любого целого $A$.

Следовательно, вся сумма $N = 1000 \cdot A + B$ будет делиться на 8 только в том случае, если второе слагаемое $B$ (число, образованное последними тремя цифрами) делится на 8.
Таким образом, признак доказан.

Ответ: Число делится на 8, если число, образованное его последними тремя цифрами, делится на 8 (или если три его последние цифры — нули).

176. Докажите обратное утверждение для каждого признака делимости.

В этой задаче требуется доказать обратные утверждения для известных признаков делимости. Прямое утверждение — это сам признак делимости (например, "если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3"). Обратное утверждение меняет причину и следствие местами (например, "если число делится на 3, то и сумма его цифр делится на 3").

Признак делимости на 10

Обратное утверждение: Если число делится на 10, то оно оканчивается на 0.

Доказательство:
Пусть натуральное число $N$ делится на 10. Это означает, что $N$ можно представить в виде $N = 10 \cdot k$, где $k$ — некоторое целое число.
Любое число, умноженное на 10, будет оканчиваться на 0. Следовательно, запись числа $N$ оканчивается цифрой 0.
Альтернативное доказательство:
Представим число $N$ в виде $N = 10 \cdot A + b$, где $A$ — число, полученное отбрасыванием последней цифры, а $b$ — последняя цифра ($0 \le b \le 9$).
По условию, $N$ делится на 10. Слагаемое $10 \cdot A$ очевидно делится на 10.
Поскольку сумма ($N$) и одно из слагаемых ($10 \cdot A$) делятся на 10, то и второе слагаемое ($b$) должно делиться на 10.
Так как $b$ — это цифра от 0 до 9, единственное значение, которое делится на 10, это 0.
Следовательно, последняя цифра числа $N$ равна 0.
Ответ: Доказано, что если число делится на 10, его последняя цифра — 0.

Признак делимости на 2

Обратное утверждение: Если число делится на 2, то его последняя цифра четная (т.е. делится на 2).

Доказательство:
Представим число $N$ в виде $N = 10 \cdot A + b$, где $A$ — число без последней цифры, а $b$ — последняя цифра.
По условию, $N$ делится на 2.
Слагаемое $10 \cdot A = 2 \cdot (5 \cdot A)$ очевидно делится на 2.
Если сумма ($N$) и одно из слагаемых ($10 \cdot A$) делятся на 2, то и второе слагаемое ($b$) должно делиться на 2.
Следовательно, последняя цифра $b$ должна быть четной.
Ответ: Доказано, что если число делится на 2, его последняя цифра четная.

Признак делимости на 5

Обратное утверждение: Если число делится на 5, то оно оканчивается на 0 или 5.

Доказательство:
Представим число $N$ в виде $N = 10 \cdot A + b$, где $A$ — число без последней цифры, а $b$ — последняя цифра ($0 \le b \le 9$).
По условию, $N$ делится на 5.
Слагаемое $10 \cdot A = 5 \cdot (2 \cdot A)$ очевидно делится на 5.
Если сумма ($N$) и одно из слагаемых ($10 \cdot A$) делятся на 5, то и второе слагаемое ($b$) должно делиться на 5.
Среди цифр от 0 до 9 на 5 делятся только 0 и 5.
Следовательно, последняя цифра числа $N$ равна 0 или 5.
Ответ: Доказано, что если число делится на 5, его последняя цифра — 0 или 5.

Признак делимости на 3 (и на 9)

Обратное утверждение: Если число делится на 3 (или на 9), то и сумма его цифр делится на 3 (соответственно, на 9).

Доказательство (для 3, для 9 оно полностью аналогично):
Пусть натуральное число $N$ делится на 3. Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых: $N = a_k \cdot 10^k + a_{k-1} \cdot 10^{k-1} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0$, где $a_i$ — это цифры числа.
Сумма цифр этого числа равна $S = a_k + a_{k-1} + \dots + a_1 + a_0$.
Рассмотрим разность $N - S$:
$N - S = (a_k \cdot 10^k - a_k) + \dots + (a_1 \cdot 10 - a_1) = a_k(10^k - 1) + \dots + a_1(10 - 1)$.
Каждый член вида $10^m - 1$ представляет собой число, состоящее из $m$ девяток (например, $10^2 - 1 = 99$). Любое такое число делится на 9, а значит, и на 3.
Следовательно, каждое слагаемое в выражении для $N - S$ делится на 3, а значит, и вся разность $N - S$ делится на 3.
По условию, число $N$ делится на 3. Мы доказали, что разность $N - S$ также делится на 3.
Если уменьшаемое ($N$) и разность ($N-S$) делятся на 3, то и вычитаемое ($S$) должно делиться на 3.
Таким образом, сумма цифр $S$ делится на 3.
Ответ: Доказано, что если число делится на 3 (на 9), то сумма его цифр также делится на 3 (соответственно, на 9).

Признак делимости на 4

Обратное утверждение: Если число делится на 4, то число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Доказательство:
Представим число $N$ в виде $N = 100 \cdot A + B$, где $B$ — число, образованное двумя последними цифрами $N$, а $A$ — число, полученное отбрасыванием этих двух цифр.
По условию, $N$ делится на 4.
Слагаемое $100 \cdot A = 4 \cdot (25 \cdot A)$ очевидно делится на 4.
Если сумма ($N$) и одно из слагаемых ($100 \cdot A$) делятся на 4, то и второе слагаемое ($B$) должно делиться на 4.
Ответ: Доказано, что если число делится на 4, то число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 8

Обратное утверждение: Если число делится на 8, то число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Доказательство:
Представим число $N$ в виде $N = 1000 \cdot A + B$, где $B$ — число, образованное тремя последними цифрами $N$, а $A$ — число, полученное отбрасыванием этих трех цифр.
По условию, $N$ делится на 8.
Слагаемое $1000 \cdot A = 8 \cdot (125 \cdot A)$ очевидно делится на 8.
Если сумма ($N$) и одно из слагаемых ($1000 \cdot A$) делятся на 8, то и второе слагаемое ($B$) должно делиться на 8.
Ответ: Доказано, что если число делится на 8, то число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Признак делимости на 6

Обратное утверждение: Если число делится на 6, то оно делится и на 2, и на 3.

Доказательство:
По определению, если число $N$ делится на 6, то его можно представить в виде $N = 6 \cdot k$, где $k$ — целое число.
Поскольку $6 = 2 \cdot 3$, мы можем переписать это равенство:
$N = (2 \cdot 3) \cdot k = 2 \cdot (3k)$. Это означает, что $N$ делится на 2.
$N = (3 \cdot 2) \cdot k = 3 \cdot (2k)$. Это означает, что $N$ делится на 3.
Таким образом, если число делится на 6, оно делится и на 2, и на 3.
Ответ: Доказано, что если число делится на 6, то оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 11

Обратное утверждение: Если число делится на 11, то разность между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.

Доказательство:
Пусть число $N = a_k a_{k-1} \dots a_1 a_0$ делится на 11. В десятичной системе его можно записать как $N = \sum_{i=0}^{k} a_i 10^i$.
Рассмотрим степени числа 10 по модулю 11:
$10 \equiv -1 \pmod{11}$
$10^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1 \pmod{11}$
$10^3 \equiv (-1)^3 \equiv -1 \pmod{11}$
В общем виде: $10^i \equiv (-1)^i \pmod{11}$.
Тогда число $N$ по модулю 11 равно:
$N \equiv \sum_{i=0}^{k} a_i (-1)^i \pmod{11}$
$N \equiv a_0 \cdot (-1)^0 + a_1 \cdot (-1)^1 + a_2 \cdot (-1)^2 + \dots \pmod{11}$
$N \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}$
$N \equiv (a_0 + a_2 + a_4 + \dots) - (a_1 + a_3 + a_5 + \dots) \pmod{11}$.
Выражение в скобках — это и есть разность суммы цифр на нечетных местах (считая справа, с 1-го места) и суммы цифр на четных местах.
По условию, $N$ делится на 11, значит $N \equiv 0 \pmod{11}$.
Следовательно, $(a_0 + a_2 + \dots) - (a_1 + a_3 + \dots) \equiv 0 \pmod{11}$, что означает, что эта разность делится на 11.
Ответ: Доказано, что если число делится на 11, то его знакопеременная сумма цифр делится на 11.

177. Вычислите НОД и НОК чисел:

а) 231 и 217;

б) 639 и 221;

в) 237 и 215;

г) 242 и 642;

д) 679 и 485;

е) 1998 и 111;

ж) 999 и 666;

з) 1999 и 2000;

и) 25 и 27.

а) 231 и 217

Для вычисления Наибольшего Общего Делителя (НОД) и Наименьшего Общего Кратного (НОК) разложим числа на простые множители.

Разложение числа 231: $231 = 3 \cdot 7 \cdot 11$.

Разложение числа 217: $217 = 7 \cdot 31$.

НОД – это произведение общих простых множителей. Единственный общий множитель – это 7. Следовательно, $НОД(231, 217) = 7$.

НОК можно найти по формуле $НОК(a, b) = \frac{a \cdot b}{НОД(a, b)}$. $НОК(231, 217) = \frac{231 \cdot 217}{7} = 231 \cdot 31 = 7161$.

Ответ: $НОД(231, 217) = 7$; $НОК(231, 217) = 7161$.

б) 639 и 221

Разложим числа на простые множители.

Разложение числа 639: $639 = 3 \cdot 213 = 3 \cdot 3 \cdot 71 = 3^2 \cdot 71$.

Разложение числа 221: $221 = 13 \cdot 17$.

У этих чисел нет общих простых множителей, поэтому они являются взаимно простыми. НОД взаимно простых чисел равен 1. $НОД(639, 221) = 1$.

НОК взаимно простых чисел равен их произведению. $НОК(639, 221) = 639 \cdot 221 = 141219$.

Ответ: $НОД(639, 221) = 1$; $НОК(639, 221) = 141219$.

в) 237 и 215

Разложим числа на простые множители.

Разложение числа 237: $237 = 3 \cdot 79$.

Разложение числа 215: $215 = 5 \cdot 43$.

Общих простых множителей нет, числа взаимно простые. $НОД(237, 215) = 1$.

НОК равен произведению этих чисел. $НОК(237, 215) = 237 \cdot 215 = 51055$.

Ответ: $НОД(237, 215) = 1$; $НОК(237, 215) = 51055$.

г) 242 и 642

Разложим числа на простые множители.

Разложение числа 242: $242 = 2 \cdot 121 = 2 \cdot 11^2$.

Разложение числа 642: $642 = 2 \cdot 321 = 2 \cdot 3 \cdot 107$.

Общий простой множитель – 2. $НОД(242, 642) = 2$.

Найдем НОК по формуле: $НОК(242, 642) = \frac{242 \cdot 642}{2} = 242 \cdot 321 = 77682$.

Ответ: $НОД(242, 642) = 2$; $НОК(242, 642) = 77682$.

д) 679 и 485

Разложим числа на простые множители.

Разложение числа 679: $679 = 7 \cdot 97$.

Разложение числа 485: $485 = 5 \cdot 97$.

Общий простой множитель – 97. $НОД(679, 485) = 97$.

Найдем НОК по формуле: $НОК(679, 485) = \frac{679 \cdot 485}{97} = 679 \cdot 5 = 3395$.

Ответ: $НОД(679, 485) = 97$; $НОК(679, 485) = 3395$.

е) 1998 и 111

Разложим числа на простые множители.

Разложение числа 111: $111 = 3 \cdot 37$.

Разложение числа 1998: $1998 = 2 \cdot 999 = 2 \cdot 9 \cdot 111 = 2 \cdot 3^2 \cdot (3 \cdot 37) = 2 \cdot 3^3 \cdot 37$.

Так как $1998 = 18 \cdot 111$, число 111 является делителем числа 1998. В этом случае НОД равен меньшему из чисел. $НОД(1998, 111) = 111$.

НОК в этом случае равен большему из чисел. $НОК(1998, 111) = 1998$.

Ответ: $НОД(1998, 111) = 111$; $НОК(1998, 111) = 1998$.

ж) 999 и 666

Разложим числа на простые множители.

Разложение числа 999: $999 = 9 \cdot 111 = 3^2 \cdot 3 \cdot 37 = 3^3 \cdot 37$.

Разложение числа 666: $666 = 6 \cdot 111 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 37 = 2 \cdot 3^2 \cdot 37$.

НОД – произведение общих множителей в наименьшей степени: $3^2$ и $37$. $НОД(999, 666) = 3^2 \cdot 37 = 9 \cdot 37 = 333$.

НОК – произведение всех множителей в наибольшей степени: $2$, $3^3$ и $37$. $НОК(999, 666) = 2 \cdot 3^3 \cdot 37 = 2 \cdot 999 = 1998$.

Ответ: $НОД(999, 666) = 333$; $НОК(999, 666) = 1998$.

з) 1999 и 2000

Числа 1999 и 2000 являются последовательными целыми числами. Два последовательных целых числа всегда взаимно простые.

$НОД(1999, 2000) = 1$.

НОК взаимно простых чисел равен их произведению. $НОК(1999, 2000) = 1999 \cdot 2000 = 3998000$.

Ответ: $НОД(1999, 2000) = 1$; $НОК(1999, 2000) = 3998000$.

и) 25 и 27

Разложим числа на простые множители.

Разложение числа 25: $25 = 5^2$.

Разложение числа 27: $27 = 3^3$.

У чисел 25 и 27 нет общих простых множителей, они взаимно простые. $НОД(25, 27) = 1$.

НОК равен их произведению. $НОК(25, 27) = 25 \cdot 27 = 675$.

Ответ: $НОД(25, 27) = 1$; $НОК(25, 27) = 675$.

178. Доказываем. Докажите, что произведение:

а) двух последовательных целых чисел делится на 2;

б) трёх последовательных целых чисел делится на 6;

в) четырёх последовательных целых чисел делится на 24.

а) Докажем, что произведение двух последовательных целых чисел делится на 2.

Пусть даны два последовательных целых числа: $n$ и $n+1$. Их произведение равно $P = n(n+1)$.Рассмотрим два возможных случая для числа $n$:

1. Если $n$ — чётное число, его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда произведение равно $P = (2k)(2k+1) = 2 \cdot [k(2k+1)]$. Так как $k(2k+1)$ — целое число, то произведение $P$ делится на 2.
2. Если $n$ — нечётное число, то следующее за ним число $n+1$ будет чётным. Если $n = 2k+1$, то $n+1 = (2k+1)+1 = 2k+2 = 2(k+1)$. Тогда их произведение равно $P = (2k+1) \cdot [2(k+1)] = 2 \cdot [(2k+1)(k+1)]$. Это выражение также делится на 2.

Мы рассмотрели оба случая и убедились, что в любом из них произведение делится на 2. Это происходит потому, что в любой паре последовательных целых чисел одно из них обязательно является чётным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.

Пусть даны три последовательных целых числа: $n$, $n+1$ и $n+2$. Их произведение равно $P = n(n+1)(n+2)$.

Чтобы доказать, что $P$ делится на 6, необходимо доказать, что оно делится на 2 и на 3, поскольку $6 = 2 \cdot 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

Делимость на 2: Среди трёх последовательных чисел всегда есть хотя бы одно чётное число. Если $n$ чётное, произведение делится на 2. Если $n$ нечётное, то $n+1$ будет чётным, и произведение также будет делиться на 2. Следовательно, произведение $P$ всегда делится на 2.

Делимость на 3: Среди любых трёх последовательных целых чисел ровно одно делится на 3. Проверим это, рассмотрев остаток от деления $n$ на 3:

• Если $n$ делится на 3 (т.е. $n = 3k$), то произведение $P$ очевидно делится на 3.
• Если $n$ при делении на 3 даёт остаток 1 (т.е. $n = 3k+1$), то число $n+2 = (3k+1)+2 = 3k+3 = 3(k+1)$ будет делиться на 3. Следовательно, произведение $P$ делится на 3.
• Если $n$ при делении на 3 даёт остаток 2 (т.е. $n = 3k+2$), то число $n+1 = (3k+2)+1 = 3k+3 = 3(k+1)$ будет делиться на 3. Следовательно, произведение $P$ делится на 3.

Таким образом, произведение $P$ всегда делится на 3.

Поскольку произведение $P$ делится одновременно на 2 и на 3, оно делится и на их произведение, то есть на 6.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Докажем, что произведение четырёх последовательных целых чисел делится на 24.

Пусть даны четыре последовательных целых числа: $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$. Их произведение равно $P = n(n+1)(n+2)(n+3)$.

Чтобы доказать, что $P$ делится на 24, необходимо доказать, что оно делится на 3 и на 8, поскольку $24 = 3 \cdot 8$, а числа 3 и 8 являются взаимно простыми.

Делимость на 3: Среди любых четырёх последовательных чисел всегда есть как минимум одно число, кратное 3 (и ровно одно, если последовательность не содержит двух кратных 3). Следовательно, их произведение $P$ всегда делится на 3.

Делимость на 8: Среди четырёх последовательных чисел есть ровно два чётных числа. Расстояние между ними равно 2. Одно из этих чисел будет делиться на 4, а другое будет просто чётным. Покажем это:
Пусть два чётных числа в нашей последовательности — это $m$ и $m+2$.

• Если $m$ делится на 4 (т.е. $m=4k$), то произведение двух чётных чисел содержит множитель $4k \cdot (m+2)$, который делится на 8, так как $m+2$ чётное.
• Если $m$ не делится на 4, то оно, будучи чётным, должно иметь вид $m=4k+2$. Тогда следующее чётное число $m+2 = (4k+2)+2 = 4k+4 = 4(k+1)$, и оно делится на 4. В этом случае произведение двух чётных чисел $m \cdot (m+2)$ делится на 8.

Таким образом, произведение двух чётных чисел из нашей последовательности всегда делится на 8. Следовательно, и всё произведение $P$ делится на 8.

Поскольку произведение $P$ делится и на 3, и на 8, оно делится на их произведение, то есть на 24.

Ответ: Что и требовалось доказать.

179. Исследуем.

а) Найдите все целые числа, которые при делении на 4, на 3, на 2 дают остаток 1.

б) Найдите все целые числа, которые при делении на 4 дают остаток 3, при делении на 3 дают остаток 2, при делении на 2 дают остаток 1.

а)

Пусть искомое целое число — это $x$. По условию задачи, $x$ при делении на 4, на 3 и на 2 дает в остатке 1. Это можно записать в виде системы сравнений по модулю:
$x \equiv 1 \pmod{4}$
$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 1 \pmod{2}$

Из этих уравнений следует, что число $(x - 1)$ делится нацело одновременно на 4, на 3 и на 2. Следовательно, $(x - 1)$ должно быть кратно наименьшему общему кратному (НОК) этих чисел.

Найдем НОК(4, 3, 2).
Разложим числа на простые множители:
$4 = 2^2$
$3 = 3^1$
$2 = 2^1$
Для нахождения НОК берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается:
НОК(4, 3, 2) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.

Таким образом, $(x - 1)$ является кратным 12. Это можно записать как:
$x - 1 = 12k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Отсюда находим общую формулу для всех таких чисел $x$:
$x = 12k + 1$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Все целые числа, удовлетворяющие условию, имеют вид $12k + 1$, где $k$ — любое целое число.

б)

Пусть искомое целое число — это $y$. По условию задачи, $y$ удовлетворяет следующим условиям:
- при делении на 4 дает остаток 3;
- при делении на 3 дает остаток 2;
- при делении на 2 дает остаток 1.

Запишем это в виде системы сравнений:
$y \equiv 3 \pmod{4}$
$y \equiv 2 \pmod{3}$
$y \equiv 1 \pmod{2}$

Заметим, что каждое из этих условий можно представить в другом виде. Если к числу $y$ прибавить 1, то получим:
$y + 1 \equiv 3 + 1 \equiv 4 \equiv 0 \pmod{4}$ — то есть $(y + 1)$ делится на 4.
$y + 1 \equiv 2 + 1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3}$ — то есть $(y + 1)$ делится на 3.
$y + 1 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \equiv 0 \pmod{2}$ — то есть $(y + 1)$ делится на 2.

Таким образом, число $(y + 1)$ делится нацело на 4, 3 и 2. Это означает, что $(y + 1)$ кратно их наименьшему общему кратному. Как мы выяснили в пункте а), НОК(4, 3, 2) = 12.

Следовательно, $(y + 1)$ является кратным 12. Запишем это в виде уравнения:
$y + 1 = 12k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Выразим $y$, чтобы найти общую формулу для искомых чисел:
$y = 12k - 1$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Все целые числа, удовлетворяющие условию, имеют вид $12k - 1$, где $k$ — любое целое число.

180. Определите число квадратов, на которые можно разрезать прямоугольник:

а) $18 \times 5$;

б) $28 \times 11$;

в) $157 \times 44$,

используя алгоритм Евклида.

Задача заключается в том, чтобы найти общее количество квадратов, на которые можно разрезать заданный прямоугольник. Этот процесс напрямую связан с алгоритмом Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) длин сторон прямоугольника.

Суть метода: на каждом шаге от прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ (пусть $a \ge b$) отрезается максимально возможное число квадратов со стороной $b$. Число этих квадратов равно частному от деления $a$ на $b$. Оставшийся прямоугольник будет иметь стороны $b$ и $a \pmod b$. Процесс повторяется с новым прямоугольником, пока одна из сторон не станет равна нулю. Общее число квадратов — это сумма частных, полученных на каждом шаге.

а) Для прямоугольника $18 \times 5$:
1. На первом шаге имеем прямоугольник $18 \times 5$. Делим большую сторону на меньшую: $18 = 3 \cdot 5 + 3$. Это значит, что мы вырезаем 3 квадрата размером $5 \times 5$. Остается прямоугольник размером $5 \times 3$.
2. На втором шаге работаем с прямоугольником $5 \times 3$. Делим $5$ на $3$: $5 = 1 \cdot 3 + 2$. Вырезаем 1 квадрат размером $3 \times 3$. Остается прямоугольник $3 \times 2$.
3. На третьем шаге имеем прямоугольник $3 \times 2$. Делим $3$ на $2$: $3 = 1 \cdot 2 + 1$. Вырезаем 1 квадрат размером $2 \times 2$. Остается прямоугольник $2 \times 1$.
4. На четвертом шаге имеем прямоугольник $2 \times 1$. Делим $2$ на $1$: $2 = 2 \cdot 1 + 0$. Вырезаем 2 квадрата размером $1 \times 1$. Остатка нет, процесс завершен.
Общее число квадратов равно сумме частных: $3 + 1 + 1 + 2 = 7$.
Ответ: 7

б) Для прямоугольника $28 \times 11$:
1. $28 = 2 \cdot 11 + 6$. Вырезаем 2 квадрата $11 \times 11$. Остается прямоугольник $11 \times 6$.
2. $11 = 1 \cdot 6 + 5$. Вырезаем 1 квадрат $6 \times 6$. Остается прямоугольник $6 \times 5$.
3. $6 = 1 \cdot 5 + 1$. Вырезаем 1 квадрат $5 \times 5$. Остается прямоугольник $5 \times 1$.
4. $5 = 5 \cdot 1 + 0$. Вырезаем 5 квадратов $1 \times 1$. Процесс завершен.
Общее число квадратов: $2 + 1 + 1 + 5 = 9$.
Ответ: 9

в) Для прямоугольника $157 \times 44$:
1. $157 = 3 \cdot 44 + 25$. Вырезаем 3 квадрата $44 \times 44$. Остается прямоугольник $44 \times 25$.
2. $44 = 1 \cdot 25 + 19$. Вырезаем 1 квадрат $25 \times 25$. Остается прямоугольник $25 \times 19$.
3. $25 = 1 \cdot 19 + 6$. Вырезаем 1 квадрат $19 \times 19$. Остается прямоугольник $19 \times 6$.
4. $19 = 3 \cdot 6 + 1$. Вырезаем 3 квадрата $6 \times 6$. Остается прямоугольник $6 \times 1$.
5. $6 = 6 \cdot 1 + 0$. Вырезаем 6 квадратов $1 \times 1$. Процесс завершен.
Общее число квадратов: $3 + 1 + 1 + 3 + 6 = 14$.
Ответ: 14