Номер 178, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Делимость чисел. Дополнения к главе 1. Глава 1. Действительные числа - номер 178, страница 54.

Условие.

178. Доказываем. Докажите, что произведение:

а) двух последовательных целых чисел делится на 2;

б) трёх последовательных целых чисел делится на 6;

в) четырёх последовательных целых чисел делится на 24.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) Докажем, что произведение двух последовательных целых чисел делится на 2.

Пусть даны два последовательных целых числа: $n$ и $n+1$. Их произведение равно $P = n(n+1)$.Рассмотрим два возможных случая для числа $n$:

1. Если $n$ — чётное число, его можно представить в виде $n = 2k$, где $k$ — некоторое целое число. Тогда произведение равно $P = (2k)(2k+1) = 2 \cdot [k(2k+1)]$. Так как $k(2k+1)$ — целое число, то произведение $P$ делится на 2.
2. Если $n$ — нечётное число, то следующее за ним число $n+1$ будет чётным. Если $n = 2k+1$, то $n+1 = (2k+1)+1 = 2k+2 = 2(k+1)$. Тогда их произведение равно $P = (2k+1) \cdot [2(k+1)] = 2 \cdot [(2k+1)(k+1)]$. Это выражение также делится на 2.

Мы рассмотрели оба случая и убедились, что в любом из них произведение делится на 2. Это происходит потому, что в любой паре последовательных целых чисел одно из них обязательно является чётным.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что произведение трёх последовательных целых чисел делится на 6.

Пусть даны три последовательных целых числа: $n$, $n+1$ и $n+2$. Их произведение равно $P = n(n+1)(n+2)$.

Чтобы доказать, что $P$ делится на 6, необходимо доказать, что оно делится на 2 и на 3, поскольку $6 = 2 \cdot 3$, а числа 2 и 3 являются взаимно простыми.

Делимость на 2: Среди трёх последовательных чисел всегда есть хотя бы одно чётное число. Если $n$ чётное, произведение делится на 2. Если $n$ нечётное, то $n+1$ будет чётным, и произведение также будет делиться на 2. Следовательно, произведение $P$ всегда делится на 2.

Делимость на 3: Среди любых трёх последовательных целых чисел ровно одно делится на 3. Проверим это, рассмотрев остаток от деления $n$ на 3:

• Если $n$ делится на 3 (т.е. $n = 3k$), то произведение $P$ очевидно делится на 3.
• Если $n$ при делении на 3 даёт остаток 1 (т.е. $n = 3k+1$), то число $n+2 = (3k+1)+2 = 3k+3 = 3(k+1)$ будет делиться на 3. Следовательно, произведение $P$ делится на 3.
• Если $n$ при делении на 3 даёт остаток 2 (т.е. $n = 3k+2$), то число $n+1 = (3k+2)+1 = 3k+3 = 3(k+1)$ будет делиться на 3. Следовательно, произведение $P$ делится на 3.

Таким образом, произведение $P$ всегда делится на 3.

Поскольку произведение $P$ делится одновременно на 2 и на 3, оно делится и на их произведение, то есть на 6.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Докажем, что произведение четырёх последовательных целых чисел делится на 24.

Пусть даны четыре последовательных целых числа: $n$, $n+1$, $n+2$ и $n+3$. Их произведение равно $P = n(n+1)(n+2)(n+3)$.

Чтобы доказать, что $P$ делится на 24, необходимо доказать, что оно делится на 3 и на 8, поскольку $24 = 3 \cdot 8$, а числа 3 и 8 являются взаимно простыми.

Делимость на 3: Среди любых четырёх последовательных чисел всегда есть как минимум одно число, кратное 3 (и ровно одно, если последовательность не содержит двух кратных 3). Следовательно, их произведение $P$ всегда делится на 3.

Делимость на 8: Среди четырёх последовательных чисел есть ровно два чётных числа. Расстояние между ними равно 2. Одно из этих чисел будет делиться на 4, а другое будет просто чётным. Покажем это:
Пусть два чётных числа в нашей последовательности — это $m$ и $m+2$.

• Если $m$ делится на 4 (т.е. $m=4k$), то произведение двух чётных чисел содержит множитель $4k \cdot (m+2)$, который делится на 8, так как $m+2$ чётное.
• Если $m$ не делится на 4, то оно, будучи чётным, должно иметь вид $m=4k+2$. Тогда следующее чётное число $m+2 = (4k+2)+2 = 4k+4 = 4(k+1)$, и оно делится на 4. В этом случае произведение двух чётных чисел $m \cdot (m+2)$ делится на 8.

Таким образом, произведение двух чётных чисел из нашей последовательности всегда делится на 8. Следовательно, и всё произведение $P$ делится на 8.

Поскольку произведение $P$ делится и на 3, и на 8, оно делится на их произведение, то есть на 24.

Ответ: Что и требовалось доказать.