Номер 175, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Делимость чисел. Дополнения к главе 1. Глава 1. Действительные числа - номер 175, страница 54.

Условие.

175. Придумайте и докажите признак делимости:

а) на 125;

б) на 8.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) на 125

Сформулируем признак делимости на 125:
Число делится на 125 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 125.
Например, число 5375 делится на 125, так как число 375 делится на 125 ($375 = 3 \cdot 125$). Число 12345 не делится на 125, так как 345 не делится на 125.

Доказательство:
Любое натуральное число $N$, имеющее более трех цифр, можно представить в виде суммы:
$N = 1000 \cdot A + B$
где $B$ — это число, образованное тремя последними цифрами числа $N$ (остаток от деления $N$ на 1000), а $A$ — это число, образованное всеми остальными цифрами (результат целочисленного деления $N$ на 1000). Например, для числа 54321, $A = 54$, $B = 321$.

Рассмотрим первое слагаемое $1000 \cdot A$. Так как $1000 = 8 \cdot 125$, то число 1000 делится на 125 нацело. Следовательно, и произведение $1000 \cdot A$ делится на 125 для любого целого $A$.

Теперь рассмотрим всю сумму $N = 1000 \cdot A + B$.
Так как первое слагаемое ($1000 \cdot A$) делится на 125, то вся сумма будет делиться на 125 только в том случае, если второе слагаемое ($B$) тоже делится на 125.
Таким образом, делимость числа $N$ на 125 полностью определяется делимостью на 125 числа $B$, образованного его последними тремя цифрами. Что и требовалось доказать.

Возможные значения для последних трех цифр, которые делятся на 125, это: 000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875.

Ответ: Число делится на 125, если число, образованное его последними тремя цифрами, делится на 125 (или если три его последние цифры — нули).

б) на 8

Сформулируем признак делимости на 8:
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.
Например, число 12536 делится на 8, так как 536 делится на 8 ($536 : 8 = 67$). Число 27130 не делится на 8, так как 130 не делится на 8.

Доказательство:
Доказательство аналогично предыдущему пункту. Любое натуральное число $N$, имеющее более трех цифр, можно представить в виде:
$N = 1000 \cdot A + B$
где $B$ — это число, образованное тремя последними цифрами числа $N$, а $A$ — число, образованное остальными цифрами.

Рассмотрим первое слагаемое $1000 \cdot A$. Так как $1000 = 125 \cdot 8$, то число 1000 делится на 8 нацело. Следовательно, произведение $1000 \cdot A$ также делится на 8 для любого целого $A$.

Следовательно, вся сумма $N = 1000 \cdot A + B$ будет делиться на 8 только в том случае, если второе слагаемое $B$ (число, образованное последними тремя цифрами) делится на 8.
Таким образом, признак доказан.

Ответ: Число делится на 8, если число, образованное его последними тремя цифрами, делится на 8 (или если три его последние цифры — нули).