Номер 179, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Делимость чисел. Дополнения к главе 1. Глава 1. Действительные числа - номер 179, страница 54.

Условие.

179. Исследуем.

а) Найдите все целые числа, которые при делении на 4, на 3, на 2 дают остаток 1.

б) Найдите все целые числа, которые при делении на 4 дают остаток 3, при делении на 3 дают остаток 2, при делении на 2 дают остаток 1.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Пусть искомое целое число — это $x$. По условию задачи, $x$ при делении на 4, на 3 и на 2 дает в остатке 1. Это можно записать в виде системы сравнений по модулю:
$x \equiv 1 \pmod{4}$
$x \equiv 1 \pmod{3}$
$x \equiv 1 \pmod{2}$

Из этих уравнений следует, что число $(x - 1)$ делится нацело одновременно на 4, на 3 и на 2. Следовательно, $(x - 1)$ должно быть кратно наименьшему общему кратному (НОК) этих чисел.

Найдем НОК(4, 3, 2).
Разложим числа на простые множители:
$4 = 2^2$
$3 = 3^1$
$2 = 2^1$
Для нахождения НОК берем каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается:
НОК(4, 3, 2) = $2^2 \cdot 3^1 = 4 \cdot 3 = 12$.

Таким образом, $(x - 1)$ является кратным 12. Это можно записать как:
$x - 1 = 12k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Отсюда находим общую формулу для всех таких чисел $x$:
$x = 12k + 1$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Все целые числа, удовлетворяющие условию, имеют вид $12k + 1$, где $k$ — любое целое число.

б)

Пусть искомое целое число — это $y$. По условию задачи, $y$ удовлетворяет следующим условиям:
- при делении на 4 дает остаток 3;
- при делении на 3 дает остаток 2;
- при делении на 2 дает остаток 1.

Запишем это в виде системы сравнений:
$y \equiv 3 \pmod{4}$
$y \equiv 2 \pmod{3}$
$y \equiv 1 \pmod{2}$

Заметим, что каждое из этих условий можно представить в другом виде. Если к числу $y$ прибавить 1, то получим:
$y + 1 \equiv 3 + 1 \equiv 4 \equiv 0 \pmod{4}$ — то есть $(y + 1)$ делится на 4.
$y + 1 \equiv 2 + 1 \equiv 3 \equiv 0 \pmod{3}$ — то есть $(y + 1)$ делится на 3.
$y + 1 \equiv 1 + 1 \equiv 2 \equiv 0 \pmod{2}$ — то есть $(y + 1)$ делится на 2.

Таким образом, число $(y + 1)$ делится нацело на 4, 3 и 2. Это означает, что $(y + 1)$ кратно их наименьшему общему кратному. Как мы выяснили в пункте а), НОК(4, 3, 2) = 12.

Следовательно, $(y + 1)$ является кратным 12. Запишем это в виде уравнения:
$y + 1 = 12k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Выразим $y$, чтобы найти общую формулу для искомых чисел:
$y = 12k - 1$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: Все целые числа, удовлетворяющие условию, имеют вид $12k - 1$, где $k$ — любое целое число.