Номер 176, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Делимость чисел. Дополнения к главе 1. Глава 1. Действительные числа - номер 176, страница 54.

Условие.

176. Докажите обратное утверждение для каждого признака делимости.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

В этой задаче требуется доказать обратные утверждения для известных признаков делимости. Прямое утверждение — это сам признак делимости (например, "если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3"). Обратное утверждение меняет причину и следствие местами (например, "если число делится на 3, то и сумма его цифр делится на 3").

Признак делимости на 10

Обратное утверждение: Если число делится на 10, то оно оканчивается на 0.

Доказательство:
Пусть натуральное число $N$ делится на 10. Это означает, что $N$ можно представить в виде $N = 10 \cdot k$, где $k$ — некоторое целое число.
Любое число, умноженное на 10, будет оканчиваться на 0. Следовательно, запись числа $N$ оканчивается цифрой 0.
Альтернативное доказательство:
Представим число $N$ в виде $N = 10 \cdot A + b$, где $A$ — число, полученное отбрасыванием последней цифры, а $b$ — последняя цифра ($0 \le b \le 9$).
По условию, $N$ делится на 10. Слагаемое $10 \cdot A$ очевидно делится на 10.
Поскольку сумма ($N$) и одно из слагаемых ($10 \cdot A$) делятся на 10, то и второе слагаемое ($b$) должно делиться на 10.
Так как $b$ — это цифра от 0 до 9, единственное значение, которое делится на 10, это 0.
Следовательно, последняя цифра числа $N$ равна 0.
Ответ: Доказано, что если число делится на 10, его последняя цифра — 0.

Признак делимости на 2

Обратное утверждение: Если число делится на 2, то его последняя цифра четная (т.е. делится на 2).

Доказательство:
Представим число $N$ в виде $N = 10 \cdot A + b$, где $A$ — число без последней цифры, а $b$ — последняя цифра.
По условию, $N$ делится на 2.
Слагаемое $10 \cdot A = 2 \cdot (5 \cdot A)$ очевидно делится на 2.
Если сумма ($N$) и одно из слагаемых ($10 \cdot A$) делятся на 2, то и второе слагаемое ($b$) должно делиться на 2.
Следовательно, последняя цифра $b$ должна быть четной.
Ответ: Доказано, что если число делится на 2, его последняя цифра четная.

Признак делимости на 5

Обратное утверждение: Если число делится на 5, то оно оканчивается на 0 или 5.

Доказательство:
Представим число $N$ в виде $N = 10 \cdot A + b$, где $A$ — число без последней цифры, а $b$ — последняя цифра ($0 \le b \le 9$).
По условию, $N$ делится на 5.
Слагаемое $10 \cdot A = 5 \cdot (2 \cdot A)$ очевидно делится на 5.
Если сумма ($N$) и одно из слагаемых ($10 \cdot A$) делятся на 5, то и второе слагаемое ($b$) должно делиться на 5.
Среди цифр от 0 до 9 на 5 делятся только 0 и 5.
Следовательно, последняя цифра числа $N$ равна 0 или 5.
Ответ: Доказано, что если число делится на 5, его последняя цифра — 0 или 5.

Признак делимости на 3 (и на 9)

Обратное утверждение: Если число делится на 3 (или на 9), то и сумма его цифр делится на 3 (соответственно, на 9).

Доказательство (для 3, для 9 оно полностью аналогично):
Пусть натуральное число $N$ делится на 3. Представим это число в виде суммы разрядных слагаемых: $N = a_k \cdot 10^k + a_{k-1} \cdot 10^{k-1} + \dots + a_1 \cdot 10 + a_0$, где $a_i$ — это цифры числа.
Сумма цифр этого числа равна $S = a_k + a_{k-1} + \dots + a_1 + a_0$.
Рассмотрим разность $N - S$:
$N - S = (a_k \cdot 10^k - a_k) + \dots + (a_1 \cdot 10 - a_1) = a_k(10^k - 1) + \dots + a_1(10 - 1)$.
Каждый член вида $10^m - 1$ представляет собой число, состоящее из $m$ девяток (например, $10^2 - 1 = 99$). Любое такое число делится на 9, а значит, и на 3.
Следовательно, каждое слагаемое в выражении для $N - S$ делится на 3, а значит, и вся разность $N - S$ делится на 3.
По условию, число $N$ делится на 3. Мы доказали, что разность $N - S$ также делится на 3.
Если уменьшаемое ($N$) и разность ($N-S$) делятся на 3, то и вычитаемое ($S$) должно делиться на 3.
Таким образом, сумма цифр $S$ делится на 3.
Ответ: Доказано, что если число делится на 3 (на 9), то сумма его цифр также делится на 3 (соответственно, на 9).

Признак делимости на 4

Обратное утверждение: Если число делится на 4, то число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Доказательство:
Представим число $N$ в виде $N = 100 \cdot A + B$, где $B$ — число, образованное двумя последними цифрами $N$, а $A$ — число, полученное отбрасыванием этих двух цифр.
По условию, $N$ делится на 4.
Слагаемое $100 \cdot A = 4 \cdot (25 \cdot A)$ очевидно делится на 4.
Если сумма ($N$) и одно из слагаемых ($100 \cdot A$) делятся на 4, то и второе слагаемое ($B$) должно делиться на 4.
Ответ: Доказано, что если число делится на 4, то число, образованное двумя его последними цифрами, делится на 4.

Признак делимости на 8

Обратное утверждение: Если число делится на 8, то число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Доказательство:
Представим число $N$ в виде $N = 1000 \cdot A + B$, где $B$ — число, образованное тремя последними цифрами $N$, а $A$ — число, полученное отбрасыванием этих трех цифр.
По условию, $N$ делится на 8.
Слагаемое $1000 \cdot A = 8 \cdot (125 \cdot A)$ очевидно делится на 8.
Если сумма ($N$) и одно из слагаемых ($1000 \cdot A$) делятся на 8, то и второе слагаемое ($B$) должно делиться на 8.
Ответ: Доказано, что если число делится на 8, то число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.

Признак делимости на 6

Обратное утверждение: Если число делится на 6, то оно делится и на 2, и на 3.

Доказательство:
По определению, если число $N$ делится на 6, то его можно представить в виде $N = 6 \cdot k$, где $k$ — целое число.
Поскольку $6 = 2 \cdot 3$, мы можем переписать это равенство:
$N = (2 \cdot 3) \cdot k = 2 \cdot (3k)$. Это означает, что $N$ делится на 2.
$N = (3 \cdot 2) \cdot k = 3 \cdot (2k)$. Это означает, что $N$ делится на 3.
Таким образом, если число делится на 6, оно делится и на 2, и на 3.
Ответ: Доказано, что если число делится на 6, то оно делится на 2 и на 3.

Признак делимости на 11

Обратное утверждение: Если число делится на 11, то разность между суммой его цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11.

Доказательство:
Пусть число $N = a_k a_{k-1} \dots a_1 a_0$ делится на 11. В десятичной системе его можно записать как $N = \sum_{i=0}^{k} a_i 10^i$.
Рассмотрим степени числа 10 по модулю 11:
$10 \equiv -1 \pmod{11}$
$10^2 \equiv (-1)^2 \equiv 1 \pmod{11}$
$10^3 \equiv (-1)^3 \equiv -1 \pmod{11}$
В общем виде: $10^i \equiv (-1)^i \pmod{11}$.
Тогда число $N$ по модулю 11 равно:
$N \equiv \sum_{i=0}^{k} a_i (-1)^i \pmod{11}$
$N \equiv a_0 \cdot (-1)^0 + a_1 \cdot (-1)^1 + a_2 \cdot (-1)^2 + \dots \pmod{11}$
$N \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + \dots \pmod{11}$
$N \equiv (a_0 + a_2 + a_4 + \dots) - (a_1 + a_3 + a_5 + \dots) \pmod{11}$.
Выражение в скобках — это и есть разность суммы цифр на нечетных местах (считая справа, с 1-го места) и суммы цифр на четных местах.
По условию, $N$ делится на 11, значит $N \equiv 0 \pmod{11}$.
Следовательно, $(a_0 + a_2 + \dots) - (a_1 + a_3 + \dots) \equiv 0 \pmod{11}$, что означает, что эта разность делится на 11.
Ответ: Доказано, что если число делится на 11, то его знакопеременная сумма цифр делится на 11.