Номер 174, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Делимость чисел. Дополнения к главе 1. Глава 1. Действительные числа - номер 174, страница 54.

Условие.

174. Докажите признак делимости: число $a = \overline{a_5 \ldots a_2 a_1 a_0}$ делится на 11, если сумма

$a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5$

делится на 11.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Доказательство:

Пусть дано число $a = \overline{a_5a_4a_3a_2a_1a_0}$. Черта над выражением означает, что это позиционная запись числа, а не произведение. Представим число $a$ в виде суммы разрядных слагаемых:

$a = a_5 \cdot 10^5 + a_4 \cdot 10^4 + a_3 \cdot 10^3 + a_2 \cdot 10^2 + a_1 \cdot 10^1 + a_0$

Рассмотрим знакопеременную сумму его цифр $S$, заданную в условии:

$S = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5$

Теперь выразим $a$ через $S$. Для этого будем использовать тот факт, что степени числа 10 можно представить в виде чисел, близких к кратным 11. Например: $10 = 11 - 1$; $100 = 99 + 1 = 9 \cdot 11 + 1$; $1000 = 1001 - 1 = 91 \cdot 11 - 1$; и так далее. В общем виде, $10^k$ при делении на 11 дает остаток 1, если $k$ четное, и остаток -1 (или 10), если $k$ нечетное. Это можно записать с помощью сравнений по модулю 11: $10 \equiv -1 \pmod{11}$, следовательно, $10^k \equiv (-1)^k \pmod{11}$.

Подставим эти представления в разложение числа $a$:

$a = a_5(100001 - 1) + a_4(9999 + 1) + a_3(1001 - 1) + a_2(99 + 1) + a_1(11 - 1) + a_0$

$a = a_5(9091 \cdot 11 - 1) + a_4(909 \cdot 11 + 1) + a_3(91 \cdot 11 - 1) + a_2(9 \cdot 11 + 1) + a_1(1 \cdot 11 - 1) + a_0$

Раскроем скобки и перегруппируем слагаемые:

$a = (a_5 \cdot 9091 \cdot 11 + a_4 \cdot 909 \cdot 11 + a_3 \cdot 91 \cdot 11 + a_2 \cdot 9 \cdot 11 + a_1 \cdot 11) + (-a_5 + a_4 - a_3 + a_2 - a_1 + a_0)$

Первая группа слагаемых представляет собой сумму произведений, каждое из которых делится на 11. Вынесем 11 за скобку:

$a = 11 \cdot (9091a_5 + 909a_4 + 91a_3 + 9a_2 + a_1) + (a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5)$

Обозначим выражение в первых скобках как целое число $K$. Выражение во вторых скобках — это в точности сумма $S$:

$a = 11K + S$

Из этого равенства видно, что число $a$ является суммой двух слагаемых. Первое слагаемое, $11K$, очевидно, делится на 11. Следовательно, число $a$ будет делиться на 11 тогда и только тогда, когда второе слагаемое, $S$, также делится на 11.

Таким образом, признак делимости доказан. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на представлении числа $a = \overline{a_n...a_0}$ в виде $a = \sum_{k=0}^{n} a_k 10^k$. Используя свойство, что $10^k$ при делении на 11 дает тот же остаток, что и $(-1)^k$, мы можем записать $a$ в виде $a = 11M + S$, где $M$ — некоторое целое число, а $S = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + ... + (-1)^n a_n$ — знакопеременная сумма цифр числа. Из этого представления следует, что $a$ делится на 11 тогда и только тогда, когда $S$ делится на 11.