Номер 180, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Делимость чисел. Дополнения к главе 1. Глава 1. Действительные числа - номер 180, страница 54.

Условие.

180. Определите число квадратов, на которые можно разрезать прямоугольник:

а) $18 \times 5$;

б) $28 \times 11$;

в) $157 \times 44$,

используя алгоритм Евклида.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Задача заключается в том, чтобы найти общее количество квадратов, на которые можно разрезать заданный прямоугольник. Этот процесс напрямую связан с алгоритмом Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) длин сторон прямоугольника.

Суть метода: на каждом шаге от прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ (пусть $a \ge b$) отрезается максимально возможное число квадратов со стороной $b$. Число этих квадратов равно частному от деления $a$ на $b$. Оставшийся прямоугольник будет иметь стороны $b$ и $a \pmod b$. Процесс повторяется с новым прямоугольником, пока одна из сторон не станет равна нулю. Общее число квадратов — это сумма частных, полученных на каждом шаге.

а) Для прямоугольника $18 \times 5$:
1. На первом шаге имеем прямоугольник $18 \times 5$. Делим большую сторону на меньшую: $18 = 3 \cdot 5 + 3$. Это значит, что мы вырезаем 3 квадрата размером $5 \times 5$. Остается прямоугольник размером $5 \times 3$.
2. На втором шаге работаем с прямоугольником $5 \times 3$. Делим $5$ на $3$: $5 = 1 \cdot 3 + 2$. Вырезаем 1 квадрат размером $3 \times 3$. Остается прямоугольник $3 \times 2$.
3. На третьем шаге имеем прямоугольник $3 \times 2$. Делим $3$ на $2$: $3 = 1 \cdot 2 + 1$. Вырезаем 1 квадрат размером $2 \times 2$. Остается прямоугольник $2 \times 1$.
4. На четвертом шаге имеем прямоугольник $2 \times 1$. Делим $2$ на $1$: $2 = 2 \cdot 1 + 0$. Вырезаем 2 квадрата размером $1 \times 1$. Остатка нет, процесс завершен.
Общее число квадратов равно сумме частных: $3 + 1 + 1 + 2 = 7$.
Ответ: 7

б) Для прямоугольника $28 \times 11$:
1. $28 = 2 \cdot 11 + 6$. Вырезаем 2 квадрата $11 \times 11$. Остается прямоугольник $11 \times 6$.
2. $11 = 1 \cdot 6 + 5$. Вырезаем 1 квадрат $6 \times 6$. Остается прямоугольник $6 \times 5$.
3. $6 = 1 \cdot 5 + 1$. Вырезаем 1 квадрат $5 \times 5$. Остается прямоугольник $5 \times 1$.
4. $5 = 5 \cdot 1 + 0$. Вырезаем 5 квадратов $1 \times 1$. Процесс завершен.
Общее число квадратов: $2 + 1 + 1 + 5 = 9$.
Ответ: 9

в) Для прямоугольника $157 \times 44$:
1. $157 = 3 \cdot 44 + 25$. Вырезаем 3 квадрата $44 \times 44$. Остается прямоугольник $44 \times 25$.
2. $44 = 1 \cdot 25 + 19$. Вырезаем 1 квадрат $25 \times 25$. Остается прямоугольник $25 \times 19$.
3. $25 = 1 \cdot 19 + 6$. Вырезаем 1 квадрат $19 \times 19$. Остается прямоугольник $19 \times 6$.
4. $19 = 3 \cdot 6 + 1$. Вырезаем 3 квадрата $6 \times 6$. Остается прямоугольник $6 \times 1$.
5. $6 = 6 \cdot 1 + 0$. Вырезаем 6 квадратов $1 \times 1$. Процесс завершен.
Общее число квадратов: $3 + 1 + 1 + 3 + 6 = 14$.
Ответ: 14