Номер 177, страница 54 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

1. Делимость чисел. Дополнения к главе 1. Глава 1. Действительные числа - номер 177, страница 54.

Условие.

177. Вычислите НОД и НОК чисел:

а) 231 и 217;

б) 639 и 221;

в) 237 и 215;

г) 242 и 642;

д) 679 и 485;

е) 1998 и 111;

ж) 999 и 666;

з) 1999 и 2000;

и) 25 и 27.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

а) 231 и 217

Для вычисления Наибольшего Общего Делителя (НОД) и Наименьшего Общего Кратного (НОК) разложим числа на простые множители.

Разложение числа 231: $231 = 3 \cdot 7 \cdot 11$.

Разложение числа 217: $217 = 7 \cdot 31$.

НОД – это произведение общих простых множителей. Единственный общий множитель – это 7. Следовательно, $НОД(231, 217) = 7$.

НОК можно найти по формуле $НОК(a, b) = \frac{a \cdot b}{НОД(a, b)}$. $НОК(231, 217) = \frac{231 \cdot 217}{7} = 231 \cdot 31 = 7161$.

Ответ: $НОД(231, 217) = 7$; $НОК(231, 217) = 7161$.

б) 639 и 221

Разложим числа на простые множители.

Разложение числа 639: $639 = 3 \cdot 213 = 3 \cdot 3 \cdot 71 = 3^2 \cdot 71$.

Разложение числа 221: $221 = 13 \cdot 17$.

У этих чисел нет общих простых множителей, поэтому они являются взаимно простыми. НОД взаимно простых чисел равен 1. $НОД(639, 221) = 1$.

НОК взаимно простых чисел равен их произведению. $НОК(639, 221) = 639 \cdot 221 = 141219$.

Ответ: $НОД(639, 221) = 1$; $НОК(639, 221) = 141219$.

в) 237 и 215

Разложим числа на простые множители.

Разложение числа 237: $237 = 3 \cdot 79$.

Разложение числа 215: $215 = 5 \cdot 43$.

Общих простых множителей нет, числа взаимно простые. $НОД(237, 215) = 1$.

НОК равен произведению этих чисел. $НОК(237, 215) = 237 \cdot 215 = 51055$.

Ответ: $НОД(237, 215) = 1$; $НОК(237, 215) = 51055$.

г) 242 и 642

Разложим числа на простые множители.

Разложение числа 242: $242 = 2 \cdot 121 = 2 \cdot 11^2$.

Разложение числа 642: $642 = 2 \cdot 321 = 2 \cdot 3 \cdot 107$.

Общий простой множитель – 2. $НОД(242, 642) = 2$.

Найдем НОК по формуле: $НОК(242, 642) = \frac{242 \cdot 642}{2} = 242 \cdot 321 = 77682$.

Ответ: $НОД(242, 642) = 2$; $НОК(242, 642) = 77682$.

д) 679 и 485

Разложим числа на простые множители.

Разложение числа 679: $679 = 7 \cdot 97$.

Разложение числа 485: $485 = 5 \cdot 97$.

Общий простой множитель – 97. $НОД(679, 485) = 97$.

Найдем НОК по формуле: $НОК(679, 485) = \frac{679 \cdot 485}{97} = 679 \cdot 5 = 3395$.

Ответ: $НОД(679, 485) = 97$; $НОК(679, 485) = 3395$.

е) 1998 и 111

Разложим числа на простые множители.

Разложение числа 111: $111 = 3 \cdot 37$.

Разложение числа 1998: $1998 = 2 \cdot 999 = 2 \cdot 9 \cdot 111 = 2 \cdot 3^2 \cdot (3 \cdot 37) = 2 \cdot 3^3 \cdot 37$.

Так как $1998 = 18 \cdot 111$, число 111 является делителем числа 1998. В этом случае НОД равен меньшему из чисел. $НОД(1998, 111) = 111$.

НОК в этом случае равен большему из чисел. $НОК(1998, 111) = 1998$.

Ответ: $НОД(1998, 111) = 111$; $НОК(1998, 111) = 1998$.

ж) 999 и 666

Разложим числа на простые множители.

Разложение числа 999: $999 = 9 \cdot 111 = 3^2 \cdot 3 \cdot 37 = 3^3 \cdot 37$.

Разложение числа 666: $666 = 6 \cdot 111 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 37 = 2 \cdot 3^2 \cdot 37$.

НОД – произведение общих множителей в наименьшей степени: $3^2$ и $37$. $НОД(999, 666) = 3^2 \cdot 37 = 9 \cdot 37 = 333$.

НОК – произведение всех множителей в наибольшей степени: $2$, $3^3$ и $37$. $НОК(999, 666) = 2 \cdot 3^3 \cdot 37 = 2 \cdot 999 = 1998$.

Ответ: $НОД(999, 666) = 333$; $НОК(999, 666) = 1998$.

з) 1999 и 2000

Числа 1999 и 2000 являются последовательными целыми числами. Два последовательных целых числа всегда взаимно простые.

$НОД(1999, 2000) = 1$.

НОК взаимно простых чисел равен их произведению. $НОК(1999, 2000) = 1999 \cdot 2000 = 3998000$.

Ответ: $НОД(1999, 2000) = 1$; $НОК(1999, 2000) = 3998000$.

и) 25 и 27

Разложим числа на простые множители.

Разложение числа 25: $25 = 5^2$.

Разложение числа 27: $27 = 3^3$.

У чисел 25 и 27 нет общих простых множителей, они взаимно простые. $НОД(25, 27) = 1$.

НОК равен их произведению. $НОК(25, 27) = 25 \cdot 27 = 675$.

Ответ: $НОД(25, 27) = 1$; $НОК(25, 27) = 675$.