Страница 47 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

170. Начертите в тетради координатную ось с единичным отрезком в 10 клеток. Укажите на этой оси числа:

а) $0{,}1$; $0{,}2$; $0{,}3$; $0{,}4$; $0{,}5$; $0{,}6$; $0{,}7$; $0{,}8$; $0{,}9$;

б) $-0{,}1$; $-0{,}2$; $-0{,}3$; $-0{,}4$; $-0{,}5$; $-0{,}6$; $-0{,}7$; $-0{,}8$; $-0{,}9$.

Для решения задачи сначала необходимо начертить координатную ось. Это прямая линия с отмеченным на ней началом отсчета (точкой 0), единичным отрезком и указанным положительным направлением (обычно вправо, обозначается стрелкой).

По условию, единичный отрезок равен 10 клеткам. Это означает, что расстояние от точки 0 до точки 1 на оси составляет 10 клеток. Следовательно, цена одного деления (одной клетки) будет равна $1 / 10 = 0,1$. Чтобы найти положение любого числа на оси, нужно умножить это число на 10 (длину единичного отрезка в клетках) и отложить полученное количество клеток от точки 0.

а)

Чтобы отметить на оси положительные числа 0,1; 0,2; ...; 0,9, нужно откладывать от начала отсчета (точки 0) вправо (в положительном направлении) соответствующее количество клеток.

• Число 0,1: $0,1 \times 10 = 1$. Откладываем 1 клетку вправо от 0.
• Число 0,2: $0,2 \times 10 = 2$. Откладываем 2 клетки вправо от 0.
• Число 0,3: $0,3 \times 10 = 3$. Откладываем 3 клетки вправо от 0.
• Число 0,4: $0,4 \times 10 = 4$. Откладываем 4 клетки вправо от 0.
• Число 0,5: $0,5 \times 10 = 5$. Откладываем 5 клеток вправо от 0.
• Число 0,6: $0,6 \times 10 = 6$. Откладываем 6 клеток вправо от 0.
• Число 0,7: $0,7 \times 10 = 7$. Откладываем 7 клеток вправо от 0.
• Число 0,8: $0,8 \times 10 = 8$. Откладываем 8 клеток вправо от 0.
• Число 0,9: $0,9 \times 10 = 9$. Откладываем 9 клеток вправо от 0.

Ответ: На координатной оси, построенной с началом в точке 0 и единичным отрезком в 10 клеток, точки 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 будут расположены на первой, второй, третьей, четвертой, пятой, шестой, седьмой, восьмой и девятой клетках справа от точки 0 соответственно.

б)

Отрицательные числа располагаются на координатной оси слева от начала отсчета (точки 0). Расстояния откладываются аналогично, но в отрицательном направлении.

• Число -0,1: $|-0,1| \times 10 = 1$. Откладываем 1 клетку влево от 0.
• Число -0,2: $|-0,2| \times 10 = 2$. Откладываем 2 клетки влево от 0.
• Число -0,3: $|-0,3| \times 10 = 3$. Откладываем 3 клетки влево от 0.
• Число -0,4: $|-0,4| \times 10 = 4$. Откладываем 4 клетки влево от 0.
• Число -0,5: $|-0,5| \times 10 = 5$. Откладываем 5 клеток влево от 0.
• Число -0,6: $|-0,6| \times 10 = 6$. Откладываем 6 клеток влево от 0.
• Число -0,7: $|-0,7| \times 10 = 7$. Откладываем 7 клеток влево от 0.
• Число -0,8: $|-0,8| \times 10 = 8$. Откладываем 8 клеток влево от 0.
• Число -0,9: $|-0,9| \times 10 = 9$. Откладываем 9 клеток влево от 0.

Точка -1 будет находиться на расстоянии 10 клеток влево от 0.

Ответ: На той же координатной оси точки -0,1; -0,2; -0,3; -0,4; -0,5; -0,6; -0,7; -0,8; -0,9 будут расположены на первой, второй, третьей, четвертой, пятой, шестой, седьмой, восьмой и девятой клетках слева от точки 0 соответственно.

171. Начертите координатную ось и укажите на ней данные числа, выбрав удобный единичный отрезок и положение начала координатной оси:

a) $\frac{1}{3}$; $\frac{5}{6}$; $\frac{2}{6}$; $\frac{2}{3}$; $1 \frac{2}{3}$; $1 \frac{1}{6}$;

б) -1,2; $- \frac{3}{5}$; $-1 \frac{1}{5}$; -0,5; -1,1; $- \frac{4}{5}$;

в) $\frac{1}{4}$; $\frac{1}{3}$; 0,75; $\frac{1}{6}$; $\frac{1}{12}$;

г) $-1 \frac{2}{3}$; -2,25; $-1 \frac{3}{4}$; -1,75; $-1 \frac{5}{12}$; $-1 \frac{5}{6}$.

а) $ \frac{1}{3}, \frac{5}{6}, \frac{2}{6}, \frac{2}{3}, 1\frac{2}{3}, 1\frac{1}{6} $

Для нанесения данных чисел на координатную ось, приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 6 это 6. В качестве удобного единичного отрезка выберем отрезок длиной в 6 клеток тетради. Тогда одна клетка будет соответствовать $ \frac{1}{6} $ единичного отрезка.

Приведем все числа к знаменателю 6:

• $ \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6} $
• $ \frac{5}{6} $
• $ \frac{2}{6} $ (совпадает с первым числом)
• $ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6} $
• $ 1\frac{2}{3} = 1\frac{4}{6} = \frac{10}{6} $
• $ 1\frac{1}{6} = \frac{7}{6} $

Все числа положительные, поэтому начало координат (точку 0) расположим в левой части оси. Отметим на оси целые числа: 1 (через 6 клеток от 0) и 2 (через 12 клеток от 0). Теперь отметим заданные числа:

• Точки $ \frac{1}{3} $ и $ \frac{2}{6} $ находятся на расстоянии 2 клеток от начала координат.
• Точка $ \frac{2}{3} $ находится на расстоянии 4 клеток от начала координат.
• Точка $ \frac{5}{6} $ находится на расстоянии 5 клеток от начала координат.
• Точка $ 1\frac{1}{6} $ находится на расстоянии 7 клеток от начала координат (1 клетка вправо от 1).
• Точка $ 1\frac{2}{3} $ находится на расстоянии 10 клеток от начала координат (4 клетки вправо от 1).

Ответ: Начертим координатную ось. Выберем единичный отрезок, равный 6 клеткам. Начало координат — точка 0. Отмечаем точки справа от нуля: $ \frac{2}{6} $ (она же $ \frac{1}{3} $) на 2-й клетке, $ \frac{4}{6} $ (она же $ \frac{2}{3} $) на 4-й, $ \frac{5}{6} $ на 5-й, $ 1\frac{1}{6} $ на 7-й и $ 1\frac{2}{3} $ на 10-й клетке.

б) $ -1,2; -\frac{3}{5}; -1\frac{1}{5}; -0,5; -1,1; -\frac{4}{5} $

Для удобства представим все числа в виде десятичных дробей или обыкновенных дробей с общим знаменателем. Общий знаменатель для дробей и десятичных чисел — 10. Выберем единичный отрезок равным 10 клеткам. Тогда одна клетка будет соответствовать 0,1 или $ \frac{1}{10} $.

Приведем все числа к единому виду (дроби со знаменателем 10):

• $ -1,2 = -1\frac{2}{10} = -\frac{12}{10} $
• $ -\frac{3}{5} = -\frac{6}{10} $
• $ -1\frac{1}{5} = -1\frac{2}{10} = -\frac{12}{10} $ (совпадает с первым числом)
• $ -0,5 = -\frac{5}{10} $
• $ -1,1 = -1\frac{1}{10} = -\frac{11}{10} $
• $ -\frac{4}{5} = -\frac{8}{10} $

Все числа отрицательные, поэтому начало координат (0) расположим в правой части оси. Отметим целые числа -1 (через 10 клеток влево от 0) и -2 (через 20 клеток влево от 0). Отметим заданные числа:

• Точка $ -0,5 $ находится на расстоянии 5 клеток влево от 0.
• Точка $ -\frac{3}{5} $ находится на расстоянии 6 клеток влево от 0.
• Точка $ -\frac{4}{5} $ находится на расстоянии 8 клеток влево от 0.
• Точка $ -1,1 $ находится на расстоянии 11 клеток влево от 0 (1 клетка влево от -1).
• Точки $ -1,2 $ и $ -1\frac{1}{5} $ находятся на расстоянии 12 клеток влево от 0 (2 клетки влево от -1).

Ответ: Начертим координатную ось. Выберем единичный отрезок, равный 10 клеткам. Начало координат — точка 0. Отмечаем точки слева от нуля: $ -0,5 $ на 5-й клетке, $ -\frac{3}{5} $ на 6-й, $ -\frac{4}{5} $ на 8-й, $ -1,1 $ на 11-й и $ -1,2 $ (она же $ -1\frac{1}{5} $) на 12-й клетке.

в) $ \frac{1}{4}, \frac{1}{3}, 0,75, \frac{1}{6}, \frac{1}{12} $

Приведем все числа к общему знаменателю. $ 0,75 = \frac{3}{4} $. Наименьший общий знаменатель для 4, 3, 6 и 12 это 12. В качестве единичного отрезка выберем 12 клеток. Тогда одна клетка будет соответствовать $ \frac{1}{12} $.

Приведем все числа к знаменателю 12:

• $ \frac{1}{4} = \frac{3}{12} $
• $ \frac{1}{3} = \frac{4}{12} $
• $ 0,75 = \frac{3}{4} = \frac{9}{12} $
• $ \frac{1}{6} = \frac{2}{12} $
• $ \frac{1}{12} $

Все числа положительные и меньше 1. Расположим начало координат (0) слева, а точку 1 — на расстоянии 12 клеток от него. Отметим заданные числа:

• Точка $ \frac{1}{12} $ находится на расстоянии 1 клетки от 0.
• Точка $ \frac{1}{6} $ находится на расстоянии 2 клеток от 0.
• Точка $ \frac{1}{4} $ находится на расстоянии 3 клеток от 0.
• Точка $ \frac{1}{3} $ находится на расстоянии 4 клеток от 0.
• Точка $ 0,75 $ находится на расстоянии 9 клеток от 0.

Ответ: Начертим координатную ось. Выберем единичный отрезок, равный 12 клеткам. Начало координат — точка 0. Отмечаем точки справа от нуля: $ \frac{1}{12} $ на 1-й клетке, $ \frac{1}{6} $ на 2-й, $ \frac{1}{4} $ на 3-й, $ \frac{1}{3} $ на 4-й и $ 0,75 $ на 9-й клетке.

г) $ -1\frac{2}{3}, -2,25, -1\frac{3}{4}, -1,75, -1\frac{5}{12}, -1\frac{5}{6} $

Приведем все числа к виду обыкновенных дробей с общим знаменателем. $ -2,25 = -2\frac{1}{4} $ и $ -1,75 = -1\frac{3}{4} $. Наименьший общий знаменатель для 3, 4, 12, 6 это 12. Выберем единичный отрезок равным 12 клеткам.

Приведем все числа к знаменателю 12:

• $ -1\frac{2}{3} = -1\frac{8}{12} = -\frac{20}{12} $
• $ -2,25 = -2\frac{1}{4} = -2\frac{3}{12} = -\frac{27}{12} $
• $ -1\frac{3}{4} = -1\frac{9}{12} = -\frac{21}{12} $
• $ -1,75 = -1\frac{3}{4} = -\frac{21}{12} $ (совпадает с предыдущим числом)
• $ -1\frac{5}{12} = -\frac{17}{12} $
• $ -1\frac{5}{6} = -1\frac{10}{12} = -\frac{22}{12} $

Все числа отрицательные. Расположим начало координат (0) справа. Отметим целые числа: -1 (на 12 клеток влево от 0), -2 (на 24 клетки влево от 0), -3 (на 36 клеток влево от 0). Отметим заданные числа:

• Точка $ -1\frac{5}{12} $ ($ -\frac{17}{12} $) находится на расстоянии 17 клеток влево от 0 (5 клеток влево от -1).
• Точка $ -1\frac{2}{3} $ ($ -\frac{20}{12} $) находится на расстоянии 20 клеток влево от 0 (8 клеток влево от -1).
• Точки $ -1\frac{3}{4} $ и $ -1,75 $ ($ -\frac{21}{12} $) находятся на расстоянии 21 клетки влево от 0 (9 клеток влево от -1).
• Точка $ -1\frac{5}{6} $ ($ -\frac{22}{12} $) находится на расстоянии 22 клеток влево от 0 (10 клеток влево от -1).
• Точка $ -2,25 $ ($ -\frac{27}{12} $) находится на расстоянии 27 клеток влево от 0 (3 клетки влево от -2).

Ответ: Начертим координатную ось. Выберем единичный отрезок, равный 12 клеткам. Начало координат — точка 0. Отмечаем точки слева от нуля: $ -1\frac{5}{12} $ на 17-й клетке, $ -1\frac{2}{3} $ на 20-й, $ -1\frac{3}{4} $ (она же $ -1,75 $) на 21-й, $ -1\frac{5}{6} $ на 22-й и $ -2,25 $ на 27-й клетке.

172. Укажите на координатной оси числа:

а) 1026; 1027; 1029;

б) -784; -786; -790;

в) 300; 400; 600;

г) -100; -200; -250;

д) -1000; -2000; -4000;

е) -0,24; -0,28; -0,22.

Для того чтобы указать числа на координатной оси, необходимо определить их порядок (какое число больше, а какое меньше) и их положение относительно нуля. Положительные числа располагаются справа от нуля, а отрицательные — слева. Из двух чисел на оси левее находится то, которое меньше, а правее — то, которое больше.

а)

Даны числа $1026; 1027; 1029$. Все числа положительные. Сравним их: $1026 < 1027 < 1029$.
Следовательно, на координатной оси все эти точки будут расположены справа от нуля. Двигаясь от нуля вправо, мы сначала встретим точку $1026$, затем $1027$ и после нее $1029$. Точка $1026$ находится левее точки $1027$, а точка $1027$ левее точки $1029$.
Ответ: Числа располагаются на координатной оси справа от нуля в следующем порядке (слева направо): $1026, 1027, 1029$.

б)

Даны числа $-784; -786; -790$. Все числа отрицательные. При сравнении отрицательных чисел, большим является то, модуль которого меньше.
Сравним модули чисел: $|-784| = 784$; $|-786| = 786$; $|-790| = 790$.
Поскольку $784 < 786 < 790$, то для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-790 < -786 < -784$.
На координатной оси все эти числа будут находиться слева от нуля. Самой дальней от нуля (самой левой) будет точка $-790$. Ближе к нулю (правее) будет точка $-786$, и самой близкой к нулю (самой правой из трех) будет точка $-784$.
Ответ: Числа располагаются на координатной оси слева от нуля в следующем порядке (слева направо): $-790, -786, -784$.

в)

Даны числа $300; 400; 600$. Все числа положительные. Сравнивая их, получаем: $300 < 400 < 600$.
На координатной оси эти числа будут справа от нуля. Точка $300$ будет левее точки $400$, а точка $400$ — левее точки $600$. Если выбрать масштаб, где один единичный отрезок равен $100$, то точка $300$ будет на третьей отметке от нуля, $400$ — на четвертой, а $600$ — на шестой.
Ответ: Числа располагаются на координатной оси справа от нуля в следующем порядке (слева направо): $300, 400, 600$.

г)

Даны числа $-100; -200; -250$. Все числа отрицательные. Сравним их модули: $|-100| = 100$; $|-200| = 200$; $|-250| = 250$.
Так как $100 < 200 < 250$, то для самих чисел верно неравенство: $-250 < -200 < -100$.
На координатной оси, которая направлена вправо, все эти числа будут слева от нуля. Самой левой будет точка $-250$. Правее нее будет точка $-200$. Ближе всех к нулю (самой правой из данных чисел) будет точка $-100$.
Ответ: Числа располагаются на координатной оси слева от нуля в следующем порядке (слева направо): $-250, -200, -100$.

д)

Даны числа $-1000; -2000; -4000$. Все числа отрицательные. Сравним их модули: $|-1000| = 1000$; $|-2000| = 2000$; $|-4000| = 4000$.
Поскольку $1000 < 2000 < 4000$, то порядок для отрицательных чисел будет обратным: $-4000 < -2000 < -1000$.
На координатной оси эти числа находятся слева от нуля. Точка $-4000$ будет расположена дальше всех от нуля (левее всех). Правее нее будет находиться точка $-2000$. Ближе всех к нулю (правее всех из данных чисел) будет расположена точка $-1000$.
Ответ: Числа располагаются на координатной оси слева от нуля в следующем порядке (слева направо): $-4000, -2000, -1000$.

е)

Даны числа $-0,24; -0,28; -0,22$. Все числа являются отрицательными десятичными дробями. Сравним их модули: $|-0,24| = 0,24$; $|-0,28| = 0,28$; $|-0,22| = 0,22$.
В порядке возрастания модули располагаются так: $0,22 < 0,24 < 0,28$.
Следовательно, для отрицательных чисел порядок будет обратным: $-0,28 < -0,24 < -0,22$.
Все эти числа находятся на координатной оси слева от нуля, между $0$ и $-1$. Самой левой будет точка $-0,28$. Правее нее (ближе к нулю) будет точка $-0,24$. И самой правой (ближайшей к нулю) будет точка $-0,22$.
Ответ: Числа располагаются на координатной оси слева от нуля в следующем порядке (слева направо): $-0,28, -0,24, -0,22$.