Страница 44 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

163. Длина отрезка равна $a = \alpha_0, \alpha_1\alpha_2\alpha_3...$ Что обозначают через:

а) $\alpha_0$;

б) $\alpha_0, \alpha_1$;

в) $\alpha_0, \alpha_1\alpha_2$?

Длина отрезка $a$ представлена в виде бесконечной десятичной дроби $a = \alpha_0,\alpha_1\alpha_2\alpha_3\dots$. Это означает, что $a$ можно записать как сумму: $a = \alpha_0 + \frac{\alpha_1}{10} + \frac{\alpha_2}{10^2} + \frac{\alpha_3}{10^3} + \dots$, где $\alpha_0$ — целая часть числа, а $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \dots$ — десятичные знаки (цифры от 0 до 9).

Выражения, представленные в вопросе, являются десятичными приближениями числа $a$ с недостатком. Десятичное приближение с недостатком (или приближение снизу) — это число, полученное отбрасыванием всех цифр в десятичной записи числа $a$ после определенного разряда. Оно всегда меньше или равно исходному числу.

а) $\alpha_0$

$\alpha_0$ — это целая часть числа $a$, то есть наибольшее целое число, которое не превосходит $a$. Это значение является десятичным приближением длины $a$ с точностью до 1 с недостатком. Для длины $a$ справедливо двойное неравенство: $\alpha_0 \le a < \alpha_0 + 1$.

Ответ: $\alpha_0$ — это десятичное приближение длины отрезка $a$ с точностью до 1 с недостатком (или целая часть числа $a$).

б) $\alpha_0,\alpha_1$

Выражение $\alpha_0,\alpha_1$ обозначает число, равное сумме $\alpha_0 + \frac{\alpha_1}{10}$. Это десятичное приближение длины $a$ с точностью до 0,1 с недостатком. Оно получается отбрасыванием всех десятичных знаков после первого. Для длины $a$ справедливо двойное неравенство: $\alpha_0,\alpha_1 \le a < \alpha_0,\alpha_1 + 0,1$.

Ответ: $\alpha_0,\alpha_1$ — это десятичное приближение длины отрезка $a$ с точностью до 0,1 с недостатком.

в) $\alpha_0,\alpha_1\alpha_2$

Выражение $\alpha_0,\alpha_1\alpha_2$ обозначает число, равное сумме $\alpha_0 + \frac{\alpha_1}{10} + \frac{\alpha_2}{100}$. Это десятичное приближение длины $a$ с точностью до 0,01 с недостатком. Оно получается отбрасыванием всех десятичных знаков после второго. Для длины $a$ справедливо двойное неравенство: $\alpha_0,\alpha_1\alpha_2 \le a < \alpha_0,\alpha_1\alpha_2 + 0,01$.

Ответ: $\alpha_0,\alpha_1\alpha_2$ — это десятичное приближение длины отрезка $a$ с точностью до 0,01 с недостатком.

164. Дан квадрат со стороной 1 см. Верно ли, что существует действительное число, выражающее длину диагонали этого квадрата?

Рассмотрим данный квадрат. Длина его стороны составляет $a = 1$ см. Диагональ квадрата делит его на два одинаковых прямоугольных треугольника. В каждом из этих треугольников стороны квадрата являются катетами, а диагональ является гипотенузой.

Для нахождения длины диагонали $d$ мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, которая гласит, что квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов: $d^2 = a^2 + a^2$

Подставим значение длины стороны $a = 1$ см в формулу: $d^2 = 1^2 + 1^2$ $d^2 = 1 + 1$ $d^2 = 2$

Следовательно, длина диагонали равна: $d = \sqrt{2}$ см.

Теперь необходимо ответить на вопрос, является ли число $\sqrt{2}$ действительным числом. Множество действительных чисел ($\mathbb{R}$) состоит из всех рациональных и иррациональных чисел. Число $\sqrt{2}$ является иррациональным числом, так как его нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа. Поскольку все иррациональные числа входят в множество действительных чисел, $\sqrt{2}$ является действительным числом.

Таким образом, утверждение о том, что существует действительное число, выражающее длину диагонали этого квадрата, является верным.

Ответ: Да, верно. Длина диагонали равна $\sqrt{2}$ см, а $\sqrt{2}$ является действительным числом.

165. Определите на глаз длину и ширину страницы тетради (в сантиметрах). Найдите при помощи линейки приближение длины и ширины страницы тетради (с недостатком) с точностью до 1; с точностью до 0,1, принимая за единицу измерения 1 см.

Для выполнения этого задания представим, что мы работаем со стандартной школьной тетрадью. Размеры таких тетрадей обычно близки к 20,5 см в длину и 17 см в ширину. Задание можно разделить на три части.

Этот шаг предполагает субъективную оценку размеров без использования измерительных инструментов. Глядя на тетрадь, можно сделать предположение о ее размерах. Допустим, наша оценка такова:

• Длина страницы: примерно 20 см.
• Ширина страницы: примерно 16 см.

Это лишь предположение, которое мы проверим с помощью линейки.

Ответ: На глаз длина страницы тетради составляет примерно 20 см, а ширина — 16 см.

Теперь выполним измерения с помощью линейки. Предположим, что точные измерения показали следующие результаты: длина равна 20,5 см, а ширина — 17,0 см.

Найти приближение с недостатком с точностью до 1 см — это значит найти наибольшее целое число сантиметров, которое не превышает точное значение. Иначе говоря, мы округляем значение вниз до ближайшего целого числа.

Для длины, равной 20,5 см: Наибольшее целое число, которое не больше 20,5, это 20. Это можно записать в виде двойного неравенства: $20 \le 20,5 < 21$. Следовательно, приближение длины с недостатком равно 20 см.

Для ширины, равной 17,0 см: Наибольшее целое число, которое не больше 17,0, это 17. Соответствующее неравенство: $17 \le 17,0 < 18$. Следовательно, приближение ширины с недостатком равно 17 см.

Ответ: Приближение длины с недостатком с точностью до 1 см равно 20 см; приближение ширины с недостатком с точностью до 1 см равно 17 см.

Мы используем те же результаты измерений: длина — 20,5 см, ширина — 17,0 см.

Найти приближение с недостатком с точностью до 0,1 см — значит найти наибольшее число с одним знаком после запятой, которое не превышает точное значение. То есть, мы округляем вниз до ближайшей десятой доли сантиметра.

Для длины, равной 20,5 см: Наибольшее число с одним знаком после запятой, которое не больше 20,5, это само число 20,5. Неравенство выглядит так: $20,5 \le 20,5 < 20,6$. Таким образом, приближение длины с недостатком равно 20,5 см.

Для ширины, равной 17,0 см: Наибольшее число с одним знаком после запятой, которое не больше 17,0, это 17,0. Неравенство: $17,0 \le 17,0 < 17,1$. Таким образом, приближение ширины с недостатком равно 17,0 см.

Ответ: Приближение длины с недостатком с точностью до 0,1 см равно 20,5 см; приближение ширины с недостатком с точностью до 0,1 см равно 17,0 см.