Страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

139. a) Что называют $n$-й степенью числа $a$?

б) Что называют основанием степени; показателем степени?

в) Чему равно произведение степеней с одинаковыми показателями?

г) Чему равно произведение степеней с одинаковыми основаниями?

д) Чему равен показатель степени при возведении степени числа в степень?

а) $n$-й степенью числа $a$ (где $n$ — натуральное число, большее 1) называют произведение, состоящее из $n$ множителей, каждый из которых равен $a$. Степень обозначается как $a^n$. Математически это записывается так: $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \dots \cdot a}_{n \text{ раз}}$. Если показатель степени равен 1, то степень числа равна самому числу: $a^1 = a$.

Ответ: $n$-й степенью числа $a$ называют произведение $n$ одинаковых множителей, каждый из которых равен $a$.

б) В выражении степени $a^n$ число $a$, которое возводится в степень, называют основанием степени. Число $n$, которое показывает, сколько раз основание умножается само на себя, называют показателем степени. Например, в выражении $2^5$, число 2 — это основание, а число 5 — это показатель.

Ответ: В записи степени $a^n$ число $a$ называют основанием степени, а число $n$ — показателем степени.

в) Произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени с тем же показателем, но с основанием, равным произведению оснований исходных степеней. Это свойство описывается формулой: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Например: $3^4 \cdot 2^4 = (3 \cdot 2)^4 = 6^4 = 1296$.

Ответ: Произведение степеней с одинаковыми показателями равно степени произведения их оснований с тем же показателем.

г) Произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием, показатель которой равен сумме показателей исходных степеней. Это свойство описывается формулой: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Например: $5^2 \cdot 5^3 = 5^{2+3} = 5^5 = 3125$.

Ответ: Произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и показателем, равным сумме показателей степеней.

д) При возведении степени числа в степень основание остается тем же, а показатели степеней перемножаются. Таким образом, показатель итоговой степени будет равен произведению исходных показателей. Это свойство описывается формулой: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Например: $(4^2)^3 = 4^{2 \cdot 3} = 4^6 = 4096$.

Ответ: Показатель степени при возведении степени числа в степень равен произведению показателей.

140. Укажите какое-либо число, заключённое между данными числами $a$ и $b$:

а) $a = 2,3; b = 2,4;$

б) $a = 3,2; b = 3,\overline{2};$

в) $a = -3,15; b = -3,14;$

г) $a = -5,\overline{3}; b = -5,\overline{21}.$

а) Даны два числа: $a = 2,3$ и $b = 2,4$. Задача состоит в том, чтобы найти любое число, которое находится между ними. То есть, найти такое число $x$, для которого выполняется неравенство $a < x < b$, или $2,3 < x < 2,4$. Чтобы было проще найти такое число, можно увеличить количество знаков после запятой у данных чисел, добавив нули. Это не изменит их значения: $a = 2,30$ и $b = 2,40$. Теперь нужно найти число $x$, которое больше $2,30$ и меньше $2,40$. Любое число из этого интервала подойдет, например: $2,31$, $2,32$, ..., $2,39$. В качестве примера выберем $2,35$. Другим универсальным способом является нахождение среднего арифметического двух чисел. Оно всегда будет находиться ровно посередине между ними. Среднее арифметическое: $x = \frac{a+b}{2} = \frac{2.3 + 2.4}{2} = \frac{4.7}{2} = 2.35$. Проверим: $2,3 < 2,35 < 2,4$. Условие выполняется.
Ответ: 2,35.

б) Даны числа $a = 3,2$ и $b = 3,(2)$. Число $b = 3,(2)$ является периодической десятичной дробью. Цифра 2 в скобках означает, что она бесконечно повторяется: $b = 3,2222...$. Нам нужно найти число $x$, удовлетворяющее неравенству $3,2 < x < 3,2222...$. Представим число $a$ с несколькими нулями после запятой, чтобы сравнение было нагляднее: $a = 3,2000...$. Теперь ищем число $x$ такое, что $3,2000... < x < 3,2222...$. Сравнивая числа по разрядам, мы видим, что они отличаются в разряде сотых: у числа $a$ там 0, а у числа $b$ — 2. Мы можем выбрать любое число, у которого в разряде сотых будет цифра между 0 и 2, например, 1. Возьмем число $x = 3,21$. Проверим: $3,2 < 3,21$ (верно) и $3,21 < 3,2222...$ (верно). Следовательно, число $3,21$ находится между $a$ и $b$.
Ответ: 3,21.

в) Даны числа $a = -3,15$ и $b = -3,14$. Оба числа отрицательные. При сравнении отрицательных чисел большим является то, чей модуль (абсолютная величина) меньше. Найдем модули чисел $a$ и $b$: $|a| = |-3.15| = 3.15$ $|b| = |-3.14| = 3.14$ Поскольку $3,14 < 3,15$, то $|b| < |a|$. Это означает, что $b > a$, или $-3,14 > -3,15$. Нам нужно найти число $x$, которое удовлетворяет неравенству $-3,15 < x < -3,14$. Для наглядности добавим нули в конце дробей: ищем $x$ в интервале от $-3,150$ до $-3,140$. Любое число из этого интервала подойдет, например, $-3,141, -3,142, ..., -3,149$. Можно также найти среднее арифметическое: $x = \frac{a+b}{2} = \frac{-3.15 + (-3.14)}{2} = \frac{-6.29}{2} = -3.145$. Число $-3,145$ находится ровно посередине между $-3,15$ и $-3,14$. Проверим: $-3,15 < -3,145 < -3,14$. Неравенство верное.
Ответ: -3,145.

г) Даны числа $a = -5,(3)$ и $b = -5,(21)$. Это периодические дроби. Раскроем их: $a = -5,3333...$ $b = -5,212121...$ Чтобы найти число между ними, сначала сравним сами числа $a$ и $b$. Сравним их модули: $|a| = |-5.3333...| = 5.3333...$ $|b| = |-5.212121...| = 5.212121...$ Сравниваем модули по разрядам. Целые части равны (5). Десятые доли у $|a|$ равны 3, а у $|b|$ равны 2. Так как $3 > 2$, то $|a| > |b|$. Для отрицательных чисел, чем больше модуль, тем меньше само число. Следовательно, $a < b$. Нам нужно найти число $x$, для которого выполняется неравенство $-5,3333... < x < -5,2121...$. На числовой прямой $a$ находится левее $b$. Мы можем выбрать число, которое находится между ними, например, $-5,3$. Проверим, подходит ли $x = -5,3$: 1. Сравним $a$ и $x$: $-5,333... < -5,3$. Это неравенство верно, так как $5,333... > 5,3$. 2. Сравним $x$ и $b$: $-5,3 < -5,2121...$. Это неравенство тоже верно, так как $5,3 > 5,2121...$. Таким образом, число $-5,3$ удовлетворяет условию. Также подошли бы числа $-5,25$ или $-5,31$.
Ответ: -5,3.

141. Число $c$ больше $a$, но меньше $b$. Верно ли, что $a < b$?

Для ответа на этот вопрос давайте переведем словесные условия на язык математических неравенств.

1. Условие "Число c больше a" означает, что $c > a$. Это неравенство можно записать и как $a < c$.

2. Условие "но меньше b" относится к числу c и означает, что $c < b$.

Теперь мы имеем два неравенства: $a < c$ и $c < b$. Поскольку оба неравенства связаны через число c, мы можем их объединить в одно двойное неравенство: $a < c < b$

Это двойное неравенство показывает, что число a меньше числа c, а число c в свою очередь меньше числа b. Исходя из свойства транзитивности для неравенств (если $x < y$ и $y < z$, то $x < z$), мы можем сделать однозначный вывод, что $a < b$.

Таким образом, утверждение, что $a < b$, является верным следствием изначальных условий.

Ответ: Да, верно.

Верно ли неравенство (142—143):

142. а) $3.5 + 2.729 < 3.6 + 2.729;$

б) $-3.21 + 0.(4) < -3 + 0.(4);$

в) $-5.6 + 3.2 < -5.1 + 3.(2);$

г) $5 + 0.1 < 5.1 + 0.10110111\dots?`

а) $3,5 + 2,729 < 3,6 + 2,729$

Это неравенство можно упростить, используя свойство неравенств: если к обеим частям верного неравенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство. Вычтем из обеих частей число $2,729$.

$3,5 + 2,729 - 2,729 < 3,6 + 2,729 - 2,729$

$3,5 < 3,6$

Полученное неравенство является верным, так как целые части чисел равны, а в разряде десятых $5 < 6$. Следовательно, исходное неравенство также верно.

Ответ: неравенство верно.

б) $-3,21 + 0,(4) < -3 + 0,(4)$

Аналогично предыдущему пункту, вычтем из обеих частей неравенства одинаковое слагаемое $0,(4)$ (где $0,(4) = 0,444...$ — периодическая десятичная дробь).

$-3,21 + 0,(4) - 0,(4) < -3 + 0,(4) - 0,(4)$

$-3,21 < -3$

Получили неравенство, в котором сравниваются два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $|-3,21| = 3,21$ и $|-3| = 3$, и при этом $3,21 > 3$, то $-3,21 < -3$. Неравенство верно, значит, и исходное неравенство верно.

Ответ: неравенство верно.

в) $-5,6 + 3,2 < -5,1 + 3,(2)$

В этом неравенстве слагаемые в обеих частях различны, поэтому необходимо вычислить значения левой и правой частей.

1. Вычислим значение левой части:

$-5,6 + 3,2 = -2,4$

2. Вычислим значение правой части. Сначала представим периодическую дробь $3,(2)$ в виде обыкновенной:

$3,(2) = 3 + 0,(2) = 3 + \frac{2}{9} = \frac{27}{9} + \frac{2}{9} = \frac{29}{9}$

Теперь выполним сложение в правой части:

$-5,1 + 3,(2) = -5,1 + \frac{29}{9} = -\frac{51}{10} + \frac{29}{9} = \frac{-51 \cdot 9 + 29 \cdot 10}{90} = \frac{-459 + 290}{90} = -\frac{169}{90}$

Для сравнения переведем $-\frac{169}{90}$ в десятичную дробь: $-\frac{169}{90} = -1,8777... = -1,8(7)$.

3. Сравним полученные значения:

$-2,4 < -1,8(7)$

Так как $2,4 > 1,8(7)$, то для отрицательных чисел выполняется обратное соотношение: $-2,4 < -1,8(7)$. Неравенство верно, следовательно, и исходное неравенство верно.

Ответ: неравенство верно.

г) $5 + 0,1 < 5,1 + 0,10110111...$

Вычислим значение левой части неравенства:

$5 + 0,1 = 5,1$

Теперь подставим это значение в исходное неравенство:

$5,1 < 5,1 + 0,10110111...$

Вычтем из обеих частей неравенства число $5,1$:

$5,1 - 5,1 < 5,1 + 0,10110111... - 5,1$

$0 < 0,10110111...$

Число $0,10110111...$ является положительным, так как оно больше нуля. Следовательно, полученное неравенство верно, а значит и исходное неравенство тоже верно.

Ответ: неравенство верно.

143. а) $3,7 \cdot 0,8 < 3,8 \cdot 0,8;$

б) $-5,1 \cdot 0,(3) < -5 \cdot 0,(3);$

В) $-4,7(1) \cdot 0,5 < -4,7 \cdot 0,5;$

Г) $-3,(8) \cdot 0,5 < -3,8 \cdot 0,(5)?$

а) Чтобы определить, верно ли неравенство $3,7 \cdot 0,8 < 3,8 \cdot 0,8$, мы можем использовать свойство неравенств. Сравним первые множители: $3,7 < 3,8$. Это верное неравенство. Оба числа умножаются на одно и то же положительное число $0,8$. Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Следовательно, умножив неравенство $3,7 < 3,8$ на $0,8$, мы получим верное неравенство $3,7 \cdot 0,8 < 3,8 \cdot 0,8$.
Для проверки можно вычислить значения:
Левая часть: $3,7 \cdot 0,8 = 2,96$
Правая часть: $3,8 \cdot 0,8 = 3,04$
Так как $2,96 < 3,04$, неравенство верно.
Ответ: неравенство верно.

б) Рассмотрим неравенство $-5,1 \cdot 0,(3) < -5,0 \cdot 0,(3)$. Сравним первые множители: $-5,1$ и $-5,0$. Так как $-5,1$ находится левее на числовой прямой, чем $-5,0$, то $-5,1 < -5,0$. Оба числа умножаются на одно и то же число $0,(3)$. Число $0,(3)$ — это бесконечная периодическая дробь, равная $1/3$, и оно положительное. При умножении обеих частей верного неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется. Таким образом, неравенство $-5,1 \cdot 0,(3) < -5,0 \cdot 0,(3)$ является верным.
Для проверки можно вычислить значения:
$0,(3) = 1/3$.
Левая часть: $-5,1 \cdot \frac{1}{3} = -1,7$
Правая часть: $-5,0 \cdot \frac{1}{3} = -5/3 \approx -1,666...$
Так как $-1,7 < -1,666...$, неравенство верно.
Ответ: неравенство верно.

в) Рассмотрим неравенство $-4,7(1) \cdot 0,5 < -4,7 \cdot 0,5$. Сначала сравним первые множители: $-4,7(1)$ и $-4,7$. Распишем их: $-4,7(1) = -4,7111...$ и $-4,7 = -4,7000...$. Сравнивая положительные числа $4,7111...$ и $4,7000...$, получаем $4,7111... > 4,7000...$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-4,7111... < -4,7000...$, то есть $-4,7(1) < -4,7$. Обе части этого верного неравенства умножаются на положительное число $0,5$. Знак неравенства при этом не меняется. Следовательно, неравенство $-4,7(1) \cdot 0,5 < -4,7 \cdot 0,5$ является верным.
Ответ: неравенство верно.

г) Требуется проверить, верно ли неравенство $-3,(8) \cdot 0,5 < -3,8 \cdot 0,(5)$. В этом случае множители в обеих частях различны, поэтому необходимо вычислить значения левой и правой частей. Для точности переведем десятичные дроби в обыкновенные.
Вычислим левую часть:
$3,(8) = 3\frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{35}{9}$
$0,5 = \frac{1}{2}$
$-3,(8) \cdot 0,5 = -\frac{35}{9} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{35}{18}$
Вычислим правую часть:
$3,8 = 3\frac{8}{10} = \frac{38}{10} = \frac{19}{5}$
$0,(5) = \frac{5}{9}$
$-3,8 \cdot 0,(5) = -\frac{19}{5} \cdot \frac{5}{9} = -\frac{19 \cdot 5}{5 \cdot 9} = -\frac{19}{9}$
Теперь сравним полученные дроби: $-\frac{35}{18}$ и $-\frac{19}{9}$. Приведем дробь $-\frac{19}{9}$ к знаменателю $18$:
$-\frac{19}{9} = -\frac{19 \cdot 2}{9 \cdot 2} = -\frac{38}{18}$
Сравниваем $-\frac{35}{18}$ и $-\frac{38}{18}$. Так как $-35 > -38$, то $-\frac{35}{18} > -\frac{38}{18}$.
Это означает, что исходное неравенство $-3,(8) \cdot 0,5 < -3,8 \cdot 0,(5)$ неверно.
Ответ: неравенство неверно.

144. Верно ли равенство:

а) $3 \frac{1}{3} + 0,(2) = 0,(2) + 3 \frac{1}{3};$

б) $(-5,1 + 3,(3)) + 7 = -5,1 + (3,(3) + 7);$

в) $(-5,4 \cdot (-7)) \cdot 2 = -5,4 \cdot ((-7) \cdot 2)?$

а) $3\frac{1}{3} + 0,(2) = 0,(2) + 3\frac{1}{3}$
Данное равенство верно, так как оно является иллюстрацией переместительного (коммутативного) закона сложения, который гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется ($a + b = b + a$). Этот закон справедлив для всех действительных чисел, каковыми и являются $3\frac{1}{3}$ и $0,(2)$.
Для проверки выполним вычисления, предварительно преобразовав числа в обыкновенные дроби: $3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$ и $0,(2) = \frac{2}{9}$.
Левая часть: $ \frac{10}{3} + \frac{2}{9} = \frac{30}{9} + \frac{2}{9} = \frac{32}{9} $.
Правая часть: $ \frac{2}{9} + \frac{10}{3} = \frac{2}{9} + \frac{30}{9} = \frac{32}{9} $.
Результаты совпадают, следовательно, равенство верно.
Ответ: да, равенство верно.

б) $(-5,1 + 3,(3)) + 7 = -5,1 + (3,(3) + 7)$
Данное равенство верно, так как оно является иллюстрацией сочетательного (ассоциативного) закона сложения. Согласно этому закону, порядок сложения чисел не влияет на итоговую сумму ($(a + b) + c = a + (b + c)$). Этот закон справедлив для всех действительных чисел, каковыми являются $-5,1$, $3,(3)$ и $7$.
Для проверки выполним вычисления, представив числа в виде обыкновенных дробей: $-5,1 = -\frac{51}{10}$, $3,(3) = 3\frac{1}{3} = \frac{10}{3}$.
Левая часть: $(-\frac{51}{10} + \frac{10}{3}) + 7 = (-\frac{153}{30} + \frac{100}{30}) + 7 = -\frac{53}{30} + \frac{210}{30} = \frac{157}{30}$.
Правая часть: $-\frac{51}{10} + (\frac{10}{3} + 7) = -\frac{51}{10} + (\frac{10}{3} + \frac{21}{3}) = -\frac{51}{10} + \frac{31}{3} = -\frac{153}{30} + \frac{310}{30} = \frac{157}{30}$.
Результаты совпадают, следовательно, равенство верно.
Ответ: да, равенство верно.

в) $(-5,4 \cdot (-7)) \cdot 2 = -5,4 \cdot ((-7) \cdot 2)$
Данное равенство верно, так как оно является иллюстрацией сочетательного (ассоциативного) закона умножения. Согласно этому закону, порядок умножения чисел не влияет на итоговое произведение ($(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$). Этот закон справедлив для всех действительных чисел, каковыми являются $-5,4$, $-7$ и $2$.
Для проверки выполним вычисления:
Левая часть: $(-5,4 \cdot (-7)) \cdot 2 = 37,8 \cdot 2 = 75,6$.
Правая часть: $-5,4 \cdot ((-7) \cdot 2) = -5,4 \cdot (-14) = 75,6$.
Результаты совпадают, следовательно, равенство верно.
Ответ: да, равенство верно.

145. Какими свойствами арифметических действий воспользовались при вычислениях:

а) $25 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 4 = 25 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 3 = 100 \cdot 21 = 2100;$

б) $1.5 \cdot 7 = (1 + 0.5) \cdot 7 = 1 \cdot 7 + 0.5 \cdot 7 = 7 + 3.5 = 10.5;$

в) $6\frac{2}{5} + 2\frac{2}{5} = 6 + \frac{2}{5} + 2 + \frac{2}{5} = 6 + 2 + \frac{2}{5} + \frac{2}{5} = 8\frac{4}{5}?$

а) В выражении $25 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 4 = 25 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 3$ была произведена перестановка множителей (числа 4 и 7 поменялись местами) для удобства последующих вычислений. Это действие стало возможным благодаря переместительному свойству умножения, которое утверждает, что произведение не меняется при перестановке его множителей. Формула: $a \cdot b = b \cdot a$.
Далее, в шаге $25 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 3 = 100 \cdot 21$ множители были сгруппированы удобным образом: $(25 \cdot 4) \cdot (7 \cdot 3)$. Это действие основано на сочетательном свойстве умножения, которое позволяет произвольно группировать множители. Формула: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$.
Ответ: переместительное и сочетательное свойства умножения.

б) В выражении $1,5 \cdot 7 = (1 + 0,5) \cdot 7$ число $1,5$ было представлено в виде суммы $1 + 0,5$. Следующий шаг, $(1 + 0,5) \cdot 7 = 1 \cdot 7 + 0,5 \cdot 7$, демонстрирует применение распределительного свойства умножения относительно сложения. Это свойство позволяет умножить каждый член суммы на число по отдельности, а затем сложить полученные произведения. Формула: $(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$.
Ответ: распределительное свойство умножения относительно сложения.

в) В вычислении $6\frac{2}{5} + 2\frac{2}{5} = 6 + \frac{2}{5} + 2 + \frac{2}{5}$ смешанные числа были представлены как суммы их целых и дробных частей. Далее, в шаге $6 + \frac{2}{5} + 2 + \frac{2}{5} = 6 + 2 + \frac{2}{5} + \frac{2}{5}$ используется переместительное свойство сложения для перестановки слагаемых. Это позволяет сгруппировать целые части вместе и дробные части вместе. Формула: $a + b = b + a$.
Затем, при выполнении сложения $(6 + 2) + (\frac{2}{5} + \frac{2}{5})$ применяется сочетательное свойство сложения, которое позволяет произвольно группировать слагаемые. Формула: $(a + b) + c = a + (b + c)$.
Ответ: переместительное и сочетательное свойства сложения.

Вычислите (146—147):

146. а) $3,(27) \cdot 5 - 3,(27) \cdot 4;$

б) $5,(21) \cdot 7 + 5,(21) \cdot 3;$

в) $3,(5) \cdot 7,3 - 7,3 \cdot 3,(5);$

г) $2,(7) \cdot 5,41 - 5,41 \cdot 2,(7);$

д) $13,(13) - 13,(13);$

е) $-1 \cdot 3,(51);$

ж) $0 \cdot 5,1234567\dots;$

з) $1 \cdot (-5,1234567\dots);$

и) $1 \cdot \frac{17}{19};$

к) $3 \cdot \frac{1}{3};$

л) $-3,4 \cdot \frac{1}{-3,4};$

м) $-5 \cdot \frac{1}{8};$

н) $11,101101110\dots + (-11,101101110\dots).$

а) В данном выражении можно вынести общий множитель $3,(27)$ за скобки, используя распределительное свойство умножения относительно вычитания: $a \cdot c - a \cdot b = a \cdot (c - b)$.

$3,(27) \cdot 5 - 3,(27) \cdot 4 = 3,(27) \cdot (5 - 4) = 3,(27) \cdot 1 = 3,(27)$.

Ответ: $3,(27)$.

б) Здесь мы также используем распределительное свойство, но уже относительно сложения: $a \cdot c + a \cdot b = a \cdot (c + b)$. Вынесем общий множитель $5,(21)$ за скобки.

$5,(21) \cdot 7 + 5,(21) \cdot 3 = 5,(21) \cdot (7 + 3) = 5,(21) \cdot 10$.

Умножение периодической дроби на 10 сдвигает десятичную запятую на один знак вправо: $5,212121... \cdot 10 = 52,121212... = 52,(12)$.

Ответ: $52,(12)$.

в) Это выражение иллюстрирует переместительное свойство умножения ($a \cdot b = b \cdot a$).

Пусть $a = 3,(5)$ и $b = 7,3$. Выражение имеет вид $a \cdot b - b \cdot a$. Так как $a \cdot b = b \cdot a$, то $a \cdot b - b \cdot a = a \cdot b - a \cdot b = 0$.

$3,(5) \cdot 7,3 - 7,3 \cdot 3,(5) = 0$.

Ответ: $0$.

г) Аналогично предыдущему пункту, используется переместительное свойство умножения.

Пусть $a = 2,(7)$ и $b = 5,41$. Выражение имеет вид $a \cdot b - b \cdot a$, что равно нулю.

$2,(7) \cdot 5,41 - 5,41 \cdot 2,(7) = 0$.

Ответ: $0$.

д) Вычитание числа из самого себя.

$13,(13) - 13,(13) = 0$.

Ответ: $0$.

е) Умножение числа на $-1$ меняет его знак на противоположный.

$-1 \cdot 3,(51) = -3,(51)$.

Ответ: $-3,(51)$.

ж) Произведение любого числа на ноль равно нулю.

$0 \cdot 5,1234567... = 0$.

Ответ: $0$.

з) Умножение числа на $1$ не изменяет это число (свойство единицы как нейтрального элемента для умножения).

$1 \cdot (-5,1234567...) = -5,1234567...$

Ответ: $-5,1234567...$

и) Умножение числа на $1$ не изменяет это число.

$1 \cdot \frac{17}{19} = \frac{17}{19}$.

Ответ: $\frac{17}{19}$.

к) Умножение числа на обратное ему число (взаимно обратные числа). Произведение взаимно обратных чисел равно $1$.

$3 \cdot \frac{1}{3} = 1$.

Ответ: $1$.

л) Умножение ненулевого числа на обратное ему число. Результат всегда равен $1$.

$-3,4 \cdot \frac{1}{-3,4} = 1$.

Ответ: $1$.

м) Простое умножение целого числа на дробь.

$-5 \cdot \frac{1}{8} = -\frac{5}{1} \cdot \frac{1}{8} = -\frac{5 \cdot 1}{1 \cdot 8} = -\frac{5}{8}$.

Можно также представить ответ в виде десятичной дроби: $-\frac{5}{8} = -0,625$.

Ответ: $-\frac{5}{8}$.

н) Сложение числа с противоположным ему числом. Сумма противоположных чисел равна нулю.

Пусть $a = 11,101101110...$. Выражение имеет вид $a + (-a)$, что равно $0$.

$11,101101110... + (-11,101101110...) = 0$.

Ответ: $0$.

147. а) $(3,2 + (-1,7)) + 1,7;$

б) $(5,9 + (-0.\overline{7})) + 0.\overline{7};$

в) $(5,4 \cdot 1,7) \cdot \frac{1}{1,7};$

г) $(-2.\overline{95} \cdot 5,28) \cdot \frac{1}{5,28}.$

а) Для решения этого примера используем сочетательное свойство сложения, которое позволяет изменять порядок сложения: $ (a + b) + c = a + (b + c) $.
Сгруппируем слагаемые таким образом, чтобы сложить противоположные числа:
$ (3,2 + (-1,7)) + 1,7 = 3,2 + ((-1,7) + 1,7) $.
Сумма противоположных чисел $ -1,7 $ и $ 1,7 $ равна нулю.
Тогда выражение принимает вид: $ 3,2 + 0 = 3,2 $.
Ответ: $3,2$

б) Аналогично предыдущему примеру, применим сочетательное свойство сложения $ (a + b) + c = a + (b + c) $ и сгруппируем противоположные числа:
$ (5,9 + (-0,(7))) + 0,(7) = 5,9 + ((-0,(7)) + 0,(7)) $.
Слагаемые $ -0,(7) $ и $ 0,(7) $ являются противоположными числами, их сумма равна нулю.
В результате получаем: $ 5,9 + 0 = 5,9 $.
Ответ: $5,9$

в) Здесь мы воспользуемся сочетательным свойством умножения: $ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $.
Сгруппируем множители так, чтобы перемножить взаимно обратные числа:
$ (5,4 \cdot 1,7) \cdot \frac{1}{1,7} = 5,4 \cdot (1,7 \cdot \frac{1}{1,7}) $.
Произведение взаимно обратных чисел $ 1,7 $ и $ \frac{1}{1,7} $ равно единице.
Тогда выражение упрощается до: $ 5,4 \cdot 1 = 5,4 $.
Ответ: $5,4$

г) Применим сочетательное свойство умножения $ (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) $ и сгруппируем взаимно обратные числа:
$ (-2,(95) \cdot 5,28) \cdot \frac{1}{5,28} = -2,(95) \cdot (5,28 \cdot \frac{1}{5,28}) $.
Множители $ 5,28 $ и $ \frac{1}{5,28} $ являются взаимно обратными числами, их произведение равно единице.
В результате получаем: $ -2,(95) \cdot 1 = -2,(95) $.
Ответ: $-2,(95)$