Страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

119. В каком случае два действительных числа a и b равны ($a = b$)?

Два действительных числа $a$ и $b$ считаются равными, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий. В зависимости от контекста (алгебра, геометрия, математический анализ) удобнее использовать разные определения.

Определение через разность. Это наиболее прямолинейное и часто используемое алгебраическое определение. Два действительных числа $a$ и $b$ равны тогда и только тогда, когда их разность равна нулю. Математически это записывается как: $a = b \iff a - b = 0$. Этот критерий напрямую следует из аксиом числового поля.

Определение через отношение порядка. Множество действительных чисел является линейно упорядоченным. Это означает, что для любых двух чисел $a$ и $b$ выполняется ровно одно из трех соотношений: $a < b$, $a > b$ или $a = b$ (закон трихотомии). Следовательно, два числа $a$ и $b$ равны в том и только в том случае, если неверно, что $a$ меньше $b$, и неверно, что $a$ больше $b$. На практике это приводит к очень полезному критерию, который часто используется в доказательствах: чтобы доказать равенство $a=b$, достаточно доказать два неравенства: $a \le b$ и $b \le a$. Если оба эти условия выполняются одновременно, единственной возможностью является равенство. Формально: $a = b \iff (a \le b \text{ и } b \le a)$.

Геометрическая интерпретация. В геометрии действительные числа представляют собой точки на числовой прямой (оси). Каждому действительному числу соответствует ровно одна точка, и каждой точке соответствует ровно одно действительное число. В этом контексте два действительных числа $a$ и $b$ равны, если они соответствуют одной и той же точке на числовой прямой.

Определение через десятичные представления. Можно сказать, что два положительных действительных числа равны, если у них совпадают целые части и все соответствующие цифры в их бесконечных десятичных записях. Однако этот подход имеет особенность: некоторые числа имеют две разные десятичные записи. Классический пример — это число 1, которое можно записать как $1,000...$ и как $0,999...$ ($0,(9)$). Поскольку $1 = 0,(9)$, прямое поразрядное сравнение может быть неточным без специальных оговорок. Поэтому данное определение, хоть и интуитивно понятное, в строгой математике используется реже.

Ответ: Два действительных числа $a$ и $b$ равны, если их разность равна нулю ($a - b = 0$). Эквивалентное и часто используемое в доказательствах условие: числа $a$ и $b$ равны, если одновременно выполняются неравенства $a \le b$ и $b \le a$. Геометрически равенство чисел означает, что они изображаются одной и той же точкой на числовой прямой.

120. В каком случае два действительных числа $a$ и $b$ не равны $(a \ne b)$?

Два действительных числа $a$ и $b$ не равны, что записывается как $a \ne b$, если они представляют собой разные значения, то есть разные точки на числовой прямой.

Формальное определение неравенства чисел основывается на их разности. Два числа $a$ и $b$ равны тогда и только тогда, когда их разность равна нулю ($a = b \iff a - b = 0$).

Соответственно, два действительных числа $a$ и $b$ не равны, если их разность отлична от нуля.
Математически это записывается так: $a \ne b \iff a - b \ne 0$.

Это условие также можно объяснить через свойство упорядоченности множества действительных чисел, известное как закон трихотомии. Для любой пары действительных чисел $a$ и $b$ всегда выполняется ровно одно из трех соотношений: $a < b$ (a строго меньше b), $a = b$ (a равно b) или $a > b$ (a строго больше b).

Утверждение, что $a \ne b$, означает, что вариант $a = b$ исключен. Таким образом, остается верным, что либо $a < b$, либо $a > b$. Другими словами, если числа не равны, то одно из них обязательно строго больше другого.

Ответ: Два действительных числа $a$ и $b$ не равны ($a \ne b$) тогда, когда их разность не равна нулю ($a - b \ne 0$), что эквивалентно тому, что одно из чисел строго больше другого (то есть либо $a > b$, либо $a < b$).

121. Сформулируйте правила сравнения действительного числа с нулём.

Сравнение любого действительного числа с нулём основано на свойстве упорядоченности множества действительных чисел. Для любого действительного числа a справедливо одно и только одно из трёх соотношений: число больше нуля, меньше нуля или равно нулю. Это свойство называется трихотомией. На его основе формулируются следующие правила.

Положительное число

Действительное число a называется положительным, если оно больше нуля. На координатной прямой все положительные числа находятся справа от точки 0. Математически это записывается в виде строгого неравенства: $a > 0$.

Отрицательное число

Действительное число a называется отрицательным, если оно меньше нуля. На координатной прямой все отрицательные числа находятся слева от точки 0. Математически это записывается в виде строгого неравенства: $a < 0$.

Число ноль

Число 0 — это особое действительное число, которое не является ни положительным, ни отрицательным. Оно служит границей между положительными и отрицательными числами. Сравнение числа с нулём, когда оно и есть ноль, записывается как равенство: $a = 0$.

Ответ: Правила сравнения действительного числа a с нулём следующие: если число a положительное, то оно больше нуля ($a > 0$); если число a отрицательное, то оно меньше нуля ($a < 0$); если число a является нулём, то оно равно нулю ($a = 0$).

122. Как сравнивают:

a) положительные действительные числа;

б) отрицательные действительные числа?

а) Для сравнения двух положительных действительных чисел их представляют в виде бесконечных десятичных дробей и сравнивают поразрядно, двигаясь слева направо.

1. Сначала сравнивают их целые части. Большим будет то число, у которого целая часть больше. Например, при сравнении чисел $15.7$ и $8.999$, так как $15 > 8$, то $15.7 > 8.999$.

2. Если целые части чисел равны, то начинают поразрядно сравнивать их дробные части, двигаясь слева направо (десятые с десятыми, сотые с сотыми и так далее), до первого несовпадающего разряда.

3. Большим считается то число, у которого соответствующая цифра в этом разряде больше. Например, сравним числа $3.1415$ и $3.1428$.
- Целые части равны: $3=3$.
- Цифры в разряде десятых равны: $1=1$.
- Цифры в разряде сотых равны: $4=4$.
- Цифры в разряде тысячных различны: $1 < 2$.
Следовательно, $3.1415 < 3.1428$.

Другой способ сравнения двух положительных чисел $a$ и $b$ — найти их разность $a - b$. Если разность $a - b > 0$, то $a > b$. Если $a - b < 0$, то $a < b$.

Ответ: из двух положительных действительных чисел больше то, у которого модуль (абсолютная величина) больше. Сравнение можно производить поразрядно слева направо: больше то число, у которого первая из неодинаковых цифр больше.

б) Сравнение отрицательных действительных чисел основано на сравнении их модулей (абсолютных величин).

Правило сравнения: из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Пусть нам нужно сравнить два отрицательных числа, $-a$ и $-b$ (где $a > 0$ и $b > 0$). Для этого мы сравниваем их модули, то есть положительные числа $a$ и $b$.

1. Если $|-a| < |-b|$, то есть $a < b$, то $-a > -b$.
2. Если $|-a| > |-b|$, то есть $a > b$, то $-a < -b$.

Например, сравним числа $-7.5$ и $-7.4$.
- Найдем их модули: $|-7.5| = 7.5$ и $|-7.4| = 7.4$.
- Сравним модули: $7.5 > 7.4$.
- Так как модуль числа $-7.5$ больше, само число $-7.5$ меньше. Следовательно, $-7.5 < -7.4$.

Геометрически на числовой оси больше то число, которое расположено правее. Число $-7.4$ находится правее числа $-7.5$, поэтому $-7.4 > -7.5$.

Ответ: из двух отрицательных действительных чисел больше то, у которого модуль (абсолютная величина) меньше.

123. Пусть $|a| = |b|$. В каком случае $a \ne b$?

По определению, модуль числа (абсолютная величина) — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Запись $|a| = |b|$ означает, что числа a и b находятся на одинаковом расстоянии от нуля.

Рассмотрим, какие это могут быть числа.

Равенство $|a| = |b|$ выполняется в двух основных случаях:

1. Числа a и b равны между собой. Например, если $a = 5$ и $b = 5$, то $|5| = |5|$. Если $a = -3$ и $b = -3$, то $|-3| = |-3|$. В этом случае выполняется равенство $a = b$.
2. Числа a и b являются противоположными. Противоположные числа — это числа, которые равны по модулю, но имеют разные знаки. Это можно записать как $a = -b$. Например, если $a = 7$, а $b = -7$, то их модули равны: $|7| = |-7|$, что верно ($7=7$). При этом сами числа не равны: $7 \neq -7$.

Задача спрашивает, в каком случае $a \neq b$.

Из двух рассмотренных выше вариантов, первый случай ($a=b$) не соответствует условию $a \neq b$. Следовательно, нас интересует второй случай.

Таким образом, условие $a \neq b$ при $|a| = |b|$ выполняется, когда числа a и b являются противоположными, то есть $a = -b$.

Необходимо сделать одно важное уточнение. Может ли при условии $a = -b$ оказаться, что $a = b$? Да, это возможно, если $a = 0$. В этом случае $b = -0 = 0$, и мы получаем $a = b = 0$. Этот единственный случай, когда противоположные числа равны друг другу, не удовлетворяет требованию $a \neq b$.

Следовательно, для того чтобы при $|a| = |b|$ выполнялось неравенство $a \neq b$, числа a и b должны быть противоположными и не равными нулю. Другими словами, они должны иметь разные знаки, но одинаковую абсолютную величину, отличную от нуля.

Ответ: Неравенство $a \neq b$ при условии $|a| = |b|$ выполняется в том случае, когда числа a и b являются противоположными, то есть $a = -b$, и при этом они не равны нулю ($a \neq 0$ и, соответственно, $b \neq 0$).

124. В каком случае:

а) если $a > b$, то и $|a| > |b|$;

б) если $a > b$, то $|a| < |b|$?

а) если a > b, то и |a| > |b|;
Рассмотрим неравенство $|a| > |b|$. Поскольку модуль числа является неотрицательной величиной, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, при этом знак неравенства сохранится.
$|a|^2 > |b|^2$
Это равносильно следующему неравенству:
$a^2 > b^2$
Перенесем $b^2$ в левую часть:
$a^2 - b^2 > 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(a-b)(a+b) > 0$
По условию задачи, нам дано, что $a > b$. Из этого следует, что разность $(a-b)$ всегда является положительным числом, то есть $a-b > 0$.
Произведение двух множителей положительно в том случае, если оба множителя имеют одинаковый знак. Так как мы установили, что первый множитель $(a-b)$ положителен, то для выполнения неравенства второй множитель $(a+b)$ также должен быть положителен.
$a+b > 0$
Таким образом, исходное утверждение верно в том случае, когда сумма чисел $a$ и $b$ положительна.
Ответ: Утверждение верно, если сумма чисел $a$ и $b$ положительна, то есть $a+b > 0$.

б) если a > b, то |a| < |b|?
Рассмотрим неравенство $|a| < |b|$. Проведем рассуждения, аналогичные предыдущему пункту. Возведем обе части неравенства в квадрат:
$|a|^2 < |b|^2$
$a^2 < b^2$
$a^2 - b^2 < 0$
$(a-b)(a+b) < 0$
Как и в предыдущем пункте, из условия $a > b$ следует, что множитель $(a-b)$ строго положителен: $a-b > 0$.
Произведение двух множителей отрицательно в том случае, если множители имеют разные знаки. Поскольку первый множитель $(a-b)$ положителен, для выполнения неравенства второй множитель $(a+b)$ должен быть отрицателен.
$a+b < 0$
Следовательно, исходное утверждение верно в том случае, когда сумма чисел $a$ и $b$ отрицательна.
Ответ: Утверждение верно, если сумма чисел $a$ и $b$ отрицательна, то есть $a+b < 0$.

125. Может ли число быть:

а) больше своей абсолютной величины;

б) равным своей абсолютной величине;

в) меньше своей абсолютной величины?

Если да, то приведите примеры.

а) больше своей абсолютной величины;

Абсолютная величина (модуль) числа $x$, обозначаемая как $|x|$, по определению всегда является неотрицательной, то есть $|x| \ge 0$. Проверим, может ли выполняться неравенство $x > |x|$.

Рассмотрим два возможных случая для числа $x$.

1. Если число $x$ неотрицательное ($x \ge 0$), то его абсолютная величина равна самому числу: $|x| = x$. В этом случае неравенство $x > |x|$ превращается в $x > x$, что является ложным утверждением для любого числа.

2. Если число $x$ отрицательное ($x < 0$), то само число $x$ отрицательно, а его абсолютная величина $|x|$ положительна. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного, поэтому неравенство $x > |x|$ в этом случае также ложно.

Таким образом, не существует числа, которое было бы больше своей абсолютной величины.

Ответ: нет, не может.

б) равным своей абсолютной величине;

Проверим, может ли выполняться равенство $x = |x|$.

1. Если число $x$ неотрицательное ($x \ge 0$), то по определению абсолютной величины $|x| = x$. В этом случае равенство $x = |x|$ является истинным.

2. Если число $x$ отрицательное ($x < 0$), то его абсолютная величина равна противоположному числу: $|x| = -x$. Равенство $x = |x|$ превращается в $x = -x$, что верно только при $x=0$. Однако это противоречит нашему допущению, что $x < 0$.

Следовательно, любое неотрицательное число (то есть положительное число или ноль) равно своей абсолютной величине.

Примеры: $5 = |5|$, $0 = |0|$, $42.1 = |42.1|$.

Ответ: да, может. Любое неотрицательное число.

в) меньше своей абсолютной величины?

Проверим, может ли выполняться неравенство $x < |x|$.

1. Если число $x$ неотрицательное ($x \ge 0$), то $|x| = x$. Неравенство $x < |x|$ превращается в $x < x$, что является ложным.

2. Если число $x$ отрицательное ($x < 0$), то $|x| = -x$. В этом случае $-x$ будет положительным числом. Неравенство $x < |x|$ превращается в $x < -x$. Поскольку любое отрицательное число меньше любого положительного, это неравенство всегда будет истинным.

Следовательно, любое отрицательное число меньше своей абсолютной величины.

Примеры: $-1 < |-1|$, так как $-1 < 1$. $-15 < |-15|$, так как $-15 < 15$.

Ответ: да, может. Любое отрицательное число.

126. Не выполняя всех вычислений, объясните, почему верно неравенство:

а) $0 \cdot \left(-5 \frac{1}{3}\right) < 3,(4) \cdot 5,1;$

б) $(-12,98) \cdot 0 > 5,(8) \cdot (-4,6);$

в) $2,(5) \cdot \left(-2 \frac{1}{13}\right) < 3,(4) \cdot 5,(1);$

г) $(5,(6) - 5,(6)) \cdot 13 > -6,7 \cdot 8,9;$

д) $(-3,(7) + 3,(7)) \cdot 8,98 < -8,1 \cdot \left(-4 \frac{1}{7}\right).$

а) В левой части неравенства $0 \cdot \left(-5\frac{1}{3}\right) < 3,(4) \cdot 5,1$ находится произведение числа и нуля. Результат такого произведения всегда равен нулю. В правой части находится произведение двух положительных чисел $3,(4)$ и $5,1$. Результат их произведения — положительное число. Так как нуль меньше любого положительного числа, неравенство верно.
Ответ: Неравенство верно, так как в левой части получается $0$, а в правой — положительное число.

б) В левой части неравенства $(-12,98) \cdot 0 > 5,(8) \cdot (-4,6)$ находится произведение числа и нуля, что равно нулю. В правой части находится произведение положительного числа $5,(8)$ и отрицательного числа $-4,6$. Результат такого произведения — отрицательное число. Так как нуль больше любого отрицательного числа, неравенство верно.
Ответ: Неравенство верно, так как в левой части получается $0$, а в правой — отрицательное число.

в) В левой части неравенства $2,(5) \cdot \left(-2\frac{1}{13}\right) < 3,(4) \cdot 5,(1)$ находится произведение положительного числа $2,(5)$ и отрицательного числа $-2\frac{1}{13}$. Результат этого произведения — отрицательное число. В правой части находится произведение двух положительных чисел $3,(4)$ и $5,(1)$, результат которого — положительное число. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа, следовательно, неравенство верно.
Ответ: Неравенство верно, так как в левой части получается отрицательное число, а в правой — положительное.

г) В левой части неравенства $(5,(6) - 5,(6)) \cdot 13 > -6,7 \cdot 8,9$ выражение в скобках равно $5,(6) - 5,(6) = 0$. При умножении нуля на любое число ($13$) результат равен нулю. В правой части находится произведение отрицательного числа $-6,7$ и положительного числа $8,9$, результат которого — отрицательное число. Так как нуль больше любого отрицательного числа, неравенство верно.
Ответ: Неравенство верно, так как в левой части получается $0$, а в правой — отрицательное число.

д) В левой части неравенства $(-3,(7) + 3,(7)) \cdot 8,98 < -8,1 \cdot \left(-4\frac{1}{7}\right)$ выражение в скобках представляет собой сумму двух противоположных чисел, которая равна нулю. При умножении нуля на $8,98$ результат равен нулю. В правой части находится произведение двух отрицательных чисел $-8,1$ и $-4\frac{1}{7}$. Результат произведения двух отрицательных чисел — положительное число. Так как нуль меньше любого положительного числа, неравенство верно.
Ответ: Неравенство верно, так как в левой части получается $0$, а в правой — положительное число.

127. Покажите справедливость двойного неравенства:

а) $0,75757 < 0,(75) < 0,75758$

б) $3,023023 < 3,(023) < 3,023024$

а) Чтобы доказать справедливость двойного неравенства $0,75757 < 0,(75) < 0,75758$, нужно сравнить периодическую дробь $0,(75)$ с конечными десятичными дробями слева и справа.

Запишем периодическую дробь $0,(75)$ в развернутом виде: $0,(75) = 0,757575...$

1. Сравним левую часть неравенства: $0,75757$ и $0,(75) = 0,757575...$
Первые пять цифр после запятой ($7,5,7,5,7$) у этих чисел совпадают. Сравним шестые цифры после запятой. У числа $0,75757$ (которое можно записать как $0,757570...$) шестая цифра равна $0$. У числа $0,757575...$ шестая цифра равна $5$. Поскольку $0 < 5$, то неравенство $0,75757 < 0,(75)$ верно.

2. Сравним правую часть неравенства: $0,(75)$ и $0,75758$.
Первые четыре цифры после запятой ($7,5,7,5$) у этих чисел совпадают. Сравним пятые цифры после запятой. У числа $0,757575...$ пятая цифра равна $7$. У числа $0,75758$ пятая цифра равна $8$. Поскольку $7 < 8$, то неравенство $0,(75) < 0,75758$ верно.

Так как обе части двойного неравенства верны, то и все двойное неравенство справедливо.

Ответ: Неравенство справедливо, так как $0,(75) = 0,757575...$, что больше $0,75757$ (различие в 6-м знаке после запятой: $5 > 0$) и меньше $0,75758$ (различие в 5-м знаке после запятой: $7 < 8$).

б) Чтобы доказать справедливость двойного неравенства $3,023023 < 3,(023) < 3,023024$, нужно сравнить периодическую дробь $3,(023)$ с конечными десятичными дробями слева и справа.

Запишем периодическую дробь $3,(023)$ в развернутом виде: $3,(023) = 3,023023023...$

1. Сравним левую часть неравенства: $3,023023$ и $3,(023) = 3,023023023...$
Первые шесть цифр после запятой ($0,2,3,0,2,3$) у этих чисел совпадают. Сравним следующие цифры. У числа $3,023023$ (которое можно записать как $3,02302300...$) восьмая цифра после запятой равна $0$. У числа $3,023023023...$ восьмая цифра равна $2$. Поскольку $0 < 2$, то неравенство $3,023023 < 3,(023)$ верно.

2. Сравним правую часть неравенства: $3,(023)$ и $3,023024$.
Первые пять цифр после запятой ($0,2,3,0,2$) у этих чисел совпадают. Сравним шестые цифры после запятой. У числа $3,023023023...$ шестая цифра равна $3$. У числа $3,023024$ шестая цифра равна $4$. Поскольку $3 < 4$, то неравенство $3,(023) < 3,023024$ верно.

Так как обе части двойного неравенства верны, то и все двойное неравенство справедливо.

Ответ: Неравенство справедливо, так как $3,(023) = 3,023023023...$, что больше $3,023023$ (различие в 8-м знаке после запятой: $2 > 0$) и меньше $3,023024$ (различие в 6-м знаке после запятой: $3 < 4$).