Страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Сравните числа (128–129):

128. а) $2,42424242...$ и $-2,42424242...$;

б) $0$ и $-10,(4)$;

в) $5,444444...$ и $5,544444...$;

г) $0,1(1)$ и $0,(2)$;

д) $0,333333$ и $\frac{1}{3}$;

е) $\frac{1}{9}$ и $0,(1)$;

ж) $-4,313131...$ и $-4,3131131...$;

з) $0,(27)$ и $\frac{3}{10}$.

а) Сравниваем положительное число $2,424242...$ и отрицательное число $-2,424242...$. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Следовательно, $2,424242... > -2,424242...$.
Ответ: $2,424242... > -2,424242...$

б) Сравниваем число $0$ и отрицательное число $-10,(4)$. Число $-10,(4)$ можно записать как $-10,444...$. Ноль больше любого отрицательного числа. Следовательно, $0 > -10,(4)$.
Ответ: $0 > -10,(4)$

в) Сравниваем два положительных числа $5,444444...$ и $5,544444...$. Целые части у них одинаковы и равны $5$. Сравниваем дробные части поразрядно, начиная с десятых. У первого числа в разряде десятых стоит цифра $4$, а у второго — $5$. Так как $4 < 5$, то первое число меньше второго.
Ответ: $5,444444... < 5,544444...$

г) Сравниваем числа $0,1(1)$ и $0,(2)$. Запишем их в развернутом виде: $0,1(1) = 0,1111...$ и $0,(2) = 0,2222...$. Оба числа положительные. Сравниваем их поразрядно. Целые части равны $0$. В разряде десятых у первого числа стоит $1$, а у второго — $2$. Так как $1 < 2$, то первое число меньше второго.
Ответ: $0,1(1) < 0,(2)$

д) Сравним число $0,333333$ и дробь $\frac{1}{3}$. Для этого представим дробь $\frac{1}{3}$ в виде десятичной дроби: $1 \div 3 = 0,333333... = 0,(3)$. Теперь сравним $0,333333$ и $0,333333...$. Первые шесть цифр после запятой у них совпадают. Седьмая цифра после запятой у первого числа равна $0$ (так как это конечная дробь), а у второго — $3$. Поскольку $0 < 3$, первое число меньше второго.
Ответ: $0,333333 < \frac{1}{3}$

е) Сравним дробь $\frac{1}{9}$ и число $0,(1)$. Представим $0,(1)$ в виде обыкновенной дроби. Пусть $x = 0,(1) = 0,111...$. Тогда $10x = 1,111...$. Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 1,111... - 0,111...$, что дает $9x=1$, откуда $x = \frac{1}{9}$. Следовательно, данные числа равны. Другой способ: перевести $\frac{1}{9}$ в десятичную дробь: $1 \div 9 = 0,111... = 0,(1)$.
Ответ: $\frac{1}{9} = 0,(1)$

ж) Сравниваем два отрицательных числа: $-4,313131...$ и $-4,311311131...$. Для этого сначала сравним их модули (абсолютные величины): $4,313131...$ и $4,311311131...$. Сравниваем их поразрядно. Целые части и первые два десятичных знака ($31$) совпадают. Третий десятичный знак у первого числа — $3$, а у второго — $1$. Так как $3 > 1$, то $4,313131... > 4,311311131...$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный.
Ответ: $-4,313131... < -4,311311131...$

з) Сравним число $0,(27)$ и дробь $\frac{3}{10}$. Переведем дробь $\frac{3}{10}$ в десятичный вид: $\frac{3}{10} = 0,3$. Теперь сравним $0,(27) = 0,2727...$ и $0,3$. Оба числа положительные. Сравниваем их поразрядно. Целые части равны $0$. В разряде десятых у первого числа стоит $2$, а у второго — $3$. Так как $2 < 3$, то первое число меньше второго.
Ответ: $0,(27) < \frac{3}{10}$

129. а) $5$ и $5,(1)$;

б) $0,(23)$ и $0,234$;

в) $1,2456$ и $1,24563$;

г) $1,2456$ и $1,(3)$;

д) $0,545454$ и $0,(54)$;

е) $0,(4)$ и $0,(45)$.

а) Сравним числа 5 и 5,(1).
Число 5 является целым. Его можно представить в виде десятичной дроби с нулевой дробной частью: 5,0.
Число 5,(1) — это периодическая десятичная дробь, которая представляет собой 5,111...
Для сравнения этих чисел начнем с целых частей. Они равны: $5 = 5$.
Теперь сравним дробные части. Первая цифра после запятой у числа 5,0 равна 0, а у числа 5,111... равна 1.
Поскольку $0 < 1$, то $5,0 < 5,111...$.
Следовательно, $5 < 5,(1)$.
Ответ: $5 < 5,(1)$.

б) Сравним числа 0,(23) и 0,234.
Число 0,(23) — это периодическая десятичная дробь, которую можно записать как 0,232323...
Число 0,234 — это конечная десятичная дробь. Для сравнения можно представить его с нулями в конце: 0,234000...
Сравним эти числа поразрядно:
- Целые части равны: $0 = 0$.
- Цифры в разряде десятых равны: $2 = 2$.
- Цифры в разряде сотых равны: $3 = 3$.
- Цифра в разряде тысячных у числа 0,2323... равна 2, а у числа 0,2340... равна 4.
Так как $2 < 4$, то $0,2323... < 0,234$.
Ответ: $0,(23) < 0,234$.

в) Сравним числа 1,2456 и 1,24563.
Оба числа являются конечными десятичными дробями. Чтобы сравнить их, мы можем дополнить первое число нулем справа, чтобы количество знаков после запятой стало одинаковым: 1,24560.
Теперь сравним 1,24560 и 1,24563.
Первые четыре цифры после запятой у них совпадают.
Пятая цифра после запятой у первого числа — 0, а у второго — 3.
Так как $0 < 3$, то $1,24560 < 1,24563$.
Ответ: $1,2456 < 1,24563$.

г) Сравним числа 1,2456 и 1,(3).
Число 1,2456 — это конечная десятичная дробь.
Число 1,(3) — это периодическая десятичная дробь, равная 1,333...
Сравним эти числа поразрядно:
- Целые части равны: $1 = 1$.
- Цифра в разряде десятых у числа 1,2456 равна 2, а у числа 1,333... равна 3.
Так как $2 < 3$, то $1,2456 < 1,333...$.
Ответ: $1,2456 < 1,(3)$.

д) Сравним числа 0,545454 и 0,(54).
Число 0,(54) — это периодическая десятичная дробь, равная 0,54545454...
Число 0,545454 — это конечная десятичная дробь. Мы можем записать её как 0,545454000...
Сравним эти числа поразрядно. Первые шесть цифр после запятой (545454) у обоих чисел совпадают.
Седьмая цифра после запятой у числа 0,545454000... равна 0, а у числа 0,54545454... равна 5.
Поскольку $0 < 5$, то $0,545454 < 0,54545454...$.
Ответ: $0,545454 < 0,(54)$.

е) Сравним числа 0,(4) и 0,(45).
Число 0,(4) — это периодическая десятичная дробь, равная 0,4444...
Число 0,(45) — это периодическая десятичная дробь, равная 0,4545...
Сравним эти числа поразрядно:
- Целые части равны: $0 = 0$.
- Цифры в разряде десятых равны: $4 = 4$.
- Цифра в разряде сотых у числа 0,4444... равна 4, а у числа 0,4545... равна 5.
Так как $4 < 5$, то $0,4444... < 0,4545...$.
Ответ: $0,(4) < 0,(45)$.

130. Расположите числа в порядке возрастания:

a) -0,142536; $-2,(7)$; 0,125; $0,1(25)$;

б) $1,(5)$; $0,(12)$; $-2,(778)$.

а) Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо их сравнить. В наборе есть как положительные, так и отрицательные числа. Сначала сравним отрицательные, затем положительные, а потом выстроим общий ряд.

Исходные числа: $ -0,142536; -2,(7); 0,125; 0,1(25) $.

Для удобства сравнения запишем периодические дроби в развернутом виде:
$ -2,(7) = -2,7777... $
$ 0,1(25) = 0,1252525... $

1. Сравнение отрицательных чисел: $ -0,142536 $ и $ -2,(7) $.
Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Сравним их модули:
$ |-2,(7)| = 2,7777... $
$ |-0,142536| = 0,142536 $
Так как $ 2,7777... > 0,142536 $, то $ -2,(7) < -0,142536 $.

2. Сравнение положительных чисел: $ 0,125 $ и $ 0,1(25) $.
Запишем их с одинаковым количеством знаков после запятой для наглядности:
$ 0,125 = 0,125000... $
$ 0,1(25) = 0,125252... $
Сравнивая поразрядно, видим, что первые три цифры после запятой ($1, 2, 5$) совпадают. Четвертая цифра у числа $ 0,125 $ равна $0$, а у числа $ 0,1(25) $ равна $2$. Поскольку $ 0 < 2 $, то $ 0,125 < 0,1(25) $.

3. Общий порядок.
Любое отрицательное число меньше любого положительного. Собирая все сравнения вместе, получаем итоговый ряд:
$ -2,(7) < -0,142536 < 0,125 < 0,1(25) $.

Ответ: $ -2,(7); -0,142536; 0,125; 0,1(25) $.

б) Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, сравним их.

Исходные числа: $ 1,(5); 0; 0,(12); -2,(778) $.

Запишем периодические дроби в развернутом виде:
$ 1,(5) = 1,555... $
$ 0,(12) = 0,121212... $
$ -2,(778) = -2,778778... $

1. Анализ набора чисел.
В наборе есть одно отрицательное число ($ -2,(778) $), ноль ($0$) и два положительных числа ($ 1,(5) $ и $ 0,(12) $).
Отрицательное число всегда меньше нуля, а ноль меньше любого положительного числа. Таким образом, наименьшее число — это $ -2,(778) $, за ним следует $0$.

2. Сравнение положительных чисел: $ 1,(5) $ и $ 0,(12) $.
$ 1,(5) = 1,555... $
$ 0,(12) = 0,1212... $
Сравниваем целые части этих чисел. У числа $ 1,(5) $ целая часть равна $1$, а у $ 0,(12) $ — $0$. Так как $ 1 > 0 $, то $ 1,(5) > 0,(12) $.

3. Общий порядок.
Собирая все сравнения вместе, получаем итоговую последовательность в порядке возрастания:
$ -2,(778) < 0 < 0,(12) < 1,(5) $.

Ответ: $ -2,(778); 0; 0,(12); 1,(5) $.

131. Расположите числа в порядке убывания: $\frac{1}{9}$; $-4,7\overline{5}$; $0,1115$; $-4,7556$; $\frac{1}{8}$; $0,124$.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке убывания, необходимо сначала представить их все в едином виде, удобном для сравнения. Наиболее удобным является формат десятичной дроби.

Преобразуем каждое число в десятичную дробь:
$ \frac{1}{9} = 1 \div 9 = 0,1111... = 0,(1) $
$ -4,7(5) = -4,7555... $
$ 0,1115 $ — уже в десятичном формате.
$ -4,7556 $ — уже в десятичном формате.
$ \frac{1}{8} = 1 \div 8 = 0,125 $
$ 0,124 $ — уже в десятичном формате.

Теперь у нас есть следующий набор чисел: $ 0,(1) $; $ -4,7555... $; $ 0,1115 $; $ -4,7556 $; $ 0,125 $; $ 0,124 $.

Расположить числа в порядке убывания — значит расположить их от самого большого к самому маленькому. Сначала отделим положительные числа от отрицательных, так как любое положительное число больше любого отрицательного.

Сравним положительные числа: $ 0,(1) $; $ 0,1115 $; $ 0,125 $; $ 0,124 $.
Чтобы их сравнить, посмотрим на разряды после запятой.
Сравнивая $ 0,125 $ и $ 0,124 $, видим, что $ 0,125 > 0,124 $, так как в разряде тысячных $ 5 > 4 $.
Сравнивая $ 0,1115 $ и $ 0,(1) = 0,1111... $, видим, что $ 0,1115 > 0,1111... $, так как в разряде десятитысячных $ 5 > 1 $.
Числа, у которых вторая цифра после запятой 2 ($0,125$ и $0,124$), больше чисел, у которых вторая цифра 1 ($0,1115$ и $0,(1)$).
Таким образом, порядок убывания для положительных чисел: $ 0,125 > 0,124 > 0,1115 > 0,(1) $.
Возвращаясь к исходной записи чисел, получаем: $ \frac{1}{8} > 0,124 > 0,1115 > \frac{1}{9} $.

Теперь сравним отрицательные числа: $ -4,7(5) $ и $ -4,7556 $.
Из двух отрицательных чисел больше то, чей модуль меньше.
Найдем модули чисел: $ |-4,7(5)| = |-4,7555...| = 4,7555... $ и $ |-4,7556| = 4,7556 $.
Сравнивая модули, видим, что $ 4,7555... < 4,7556 $.
Следовательно, $ -4,7555... > -4,7556 $, то есть $ -4,7(5) > -4,7556 $.

Объединяя все числа в один ряд в порядке убывания (от самого большого положительного к самому маленькому отрицательному), получаем окончательный результат.
Ответ: $ \frac{1}{8} $; 0,124; 0,1115; $ \frac{1}{9} $; -4,7(5); -4,7556.

132. Верно ли двойное неравенство:

a) $106,727272 \le 106,(72) < 106,727273;$

б) $-0,313132 < -0,(31) \le -0,313131?$'

a) Проверим верность двойного неравенства $106,727272 \le 106,(72) < 106,727273$.

Число $106,(72)$ является бесконечной периодической десятичной дробью, которую можно представить в развернутом виде как $106,72727272...$.

Для проверки двойного неравенства необходимо проверить верность двух неравенств: $106,727272 \le 106,(72)$ и $106,(72) < 106,727273$.

1. Сравним $106,727272$ и $106,(72)$.
$106,727272 = 106,72727200...$
$106,(72) = 106,72727272...$
Целые части и первые шесть цифр после запятой у этих чисел совпадают. Сравним седьмые цифры после запятой: у первого числа это $0$, у второго — $7$. Так как $0 < 7$, то $106,727272 < 106,72727272...$. Следовательно, неравенство $106,727272 \le 106,(72)$ верно.

2. Сравним $106,(72)$ и $106,727273$.
$106,(72) = 106,72727272...$
$106,727273 = 106,72727300...$
Целые части и первые шесть цифр после запятой у этих чисел совпадают. Сравним седьмые цифры после запятой: у первого числа это $7$, у второго — $3$. Так как $7 > 3$, то $106,72727272... > 106,727273$. Следовательно, неравенство $106,(72) < 106,727273$ неверно.

Поскольку вторая часть двойного неравенства неверна, то всё двойное неравенство неверно.

Ответ: неверно.

б) Проверим верность двойного неравенства $-0,313132 < -0,(31) \le -0,313131$.

Число $-0,(31)$ является бесконечной периодической десятичной дробью, которую можно представить как $-0,31313131...$.

Вспомним правило сравнения отрицательных чисел: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Проверим верность двух неравенств: $-0,313132 < -0,(31)$ и $-0,(31) \le -0,313131$.

1. Сравним $-0,313132$ и $-0,(31)$.
Для этого сравним их модули: $|-0,313132| = 0,313132$ и $|-0,(31)| = 0,(31) = 0,31313131...$.
$0,31313200...$
$0,31313131...$
Первые пять цифр после запятой совпадают. Сравним шестые цифры: $2 > 1$. Значит, $0,313132 > 0,31313131...$.
Так как модуль первого числа больше модуля второго, то для отрицательных чисел будет верно обратное неравенство: $-0,313132 < -0,(31)$. Следовательно, первая часть неравенства верна.

2. Сравним $-0,(31)$ и $-0,313131$.
Сравним их модули: $|-0,(31)| = 0,31313131...$ и $|-0,313131| = 0,313131$.
$0,31313131...$
$0,31313100...$
Первые шесть цифр после запятой совпадают. Сравним седьмые цифры: $3 > 0$. Значит, $0,31313131... > 0,313131$.
Так как модуль первого числа больше модуля второго, то для отрицательных чисел будет верно $-0,(31) < -0,313131$.
Поскольку условие "меньше или равно" ($\le$) выполняется, если выполняется хотя бы одно из условий ("меньше" или "равно"), то неравенство $-0,(31) \le -0,313131$ верно.

Поскольку обе части двойного неравенства верны, то всё двойное неравенство верно.

Ответ: верно.

133. Для чисел $2,(1)$ и $2,111$ укажите хотя бы одно такое число, которое было бы больше одного из этих чисел и меньше другого.

Для того чтобы найти число, которое находится между двумя данными числами, необходимо сначала сравнить их.

Первое число — это периодическая десятичная дробь $2,(1)$. Запись $2,(1)$ означает, что цифра 1 после запятой повторяется бесконечно. Распишем это число: $2,(1) = 2.11111...$

Второе число — это конечная десятичная дробь $2,111$. Чтобы было удобнее сравнивать, мы можем представить его в виде бесконечной дроби, добавив справа нули: $2,111 = 2.11100...$

Теперь выполним поразрядное сравнение этих двух чисел:

• Целые части у чисел одинаковы: $2 = 2$.
• Цифры в разряде десятых одинаковы: $1 = 1$.
• Цифры в разряде сотых одинаковы: $1 = 1$.
• Цифры в разряде тысячных одинаковы: $1 = 1$.
• В разряде десятитысячных у числа $2,(1)$ стоит цифра $1$, а у числа $2,111$ — цифра $0$.

Так как $1 > 0$, то число $2.1111...$ больше, чем число $2.1110...$. Следовательно, мы имеем неравенство: $2,(1) > 2,111$

Задача состоит в том, чтобы найти любое число $x$, которое удовлетворяет двойному неравенству: $2,111 < x < 2,(1)$ или $2,11100... < x < 2,11111...$

Для этого достаточно выбрать число, которое начинается с $2,111$, но имеет на четвертом или последующих знаках после запятой цифру, отличную от нуля, и при этом меньше $2,11111...$. Например, таким числом может быть $2,1111$.

Проверим, удовлетворяет ли оно условию: $2,111 < 2,1111$ — верно. $2,1111 < 2,(1)$ — верно, так как $2,1111 < 2,11111...$.

Таким образом, число $2,1111$ является одним из возможных решений. Можно было бы выбрать и другие числа, например, $2,1112$ или $2,1115$.

Ответ: $2,1111$.

134. Числа $a$ и $b$ отрицательные, и $|a| < |b|$. Сравните числа:

а) $a$ и $0$;

б) $-b$ и $0$;

в) $-b$ и $a$;

г) $b$ и $-a$;

д) $-b$ и $-a$;

е) $a$ и $|b|$.

По условию задачи числа $a$ и $b$ отрицательные, то есть $a < 0$ и $b < 0$. Также дано неравенство $|a| < |b|$.

Поскольку $a$ и $b$ — отрицательные числа, их модули раскрываются следующим образом: $|a| = -a$ и $|b| = -b$.

Подставим это в данное неравенство: $-a < -b$.

Если умножить обе части неравенства $-a < -b$ на $-1$, необходимо изменить знак неравенства на противоположный: $a > b$.

Таким образом, мы имеем следующую систему неравенств: $b < a < 0$. Это означает, что оба числа отрицательны, и число $a$ расположено на числовой оси правее (то есть ближе к нулю), чем число $b$.

Теперь сравним числа в каждом пункте.

а) a и 0

По условию, число $a$ является отрицательным. Любое отрицательное число меньше нуля.
Ответ: $a < 0$

б) -b и 0

По условию, число $b$ отрицательное ($b < 0$). Число $-b$ является ему противоположным, следовательно, оно положительное. Любое положительное число больше нуля. Из $b < 0$ следует, что $-b > 0$.
Ответ: $-b > 0$

в) -b и a

Из пункта (а) мы знаем, что $a$ — отрицательное число. Из пункта (б) мы знаем, что $-b$ — положительное число. Любое положительное число всегда больше любого отрицательного числа.
Ответ: $-b > a$

г) b и -a

По условию, число $b$ отрицательное. Число $a$ также отрицательное ($a < 0$), значит, противоположное ему число $-a$ будет положительным ($-a > 0$). Сравнивая отрицательное число $b$ и положительное число $-a$, получаем, что $b$ меньше $-a$.
Ответ: $b < -a$

д) -b и -a

Мы исходим из условия $|a| < |b|$. Поскольку $a$ и $b$ отрицательные, то $|a| = -a$ и $|b| = -b$. Подставив это в исходное неравенство, получаем: $-a < -b$. Это и есть сравнение данных чисел.
Ответ: $-b > -a$

е) a и |b|

Число $a$ по условию отрицательное. Модуль любого ненулевого числа является положительным числом, поэтому $|b| > 0$ (так как $b < 0$). Сравнивая отрицательное число $a$ и положительное число $|b|$, получаем, что $a$ меньше $|b|$.
Ответ: $a < |b|$