Номер 130, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.3. Сравнение действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 130, страница 34.

Условие.

130. Расположите числа в порядке возрастания:

a) -0,142536; $-2,(7)$; 0,125; $0,1(25)$;

б) $1,(5)$; $0,(12)$; $-2,(778)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо их сравнить. В наборе есть как положительные, так и отрицательные числа. Сначала сравним отрицательные, затем положительные, а потом выстроим общий ряд.

Исходные числа: $ -0,142536; -2,(7); 0,125; 0,1(25) $.

Для удобства сравнения запишем периодические дроби в развернутом виде:
$ -2,(7) = -2,7777... $
$ 0,1(25) = 0,1252525... $

1. Сравнение отрицательных чисел: $ -0,142536 $ и $ -2,(7) $.
Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Сравним их модули:
$ |-2,(7)| = 2,7777... $
$ |-0,142536| = 0,142536 $
Так как $ 2,7777... > 0,142536 $, то $ -2,(7) < -0,142536 $.

2. Сравнение положительных чисел: $ 0,125 $ и $ 0,1(25) $.
Запишем их с одинаковым количеством знаков после запятой для наглядности:
$ 0,125 = 0,125000... $
$ 0,1(25) = 0,125252... $
Сравнивая поразрядно, видим, что первые три цифры после запятой ($1, 2, 5$) совпадают. Четвертая цифра у числа $ 0,125 $ равна $0$, а у числа $ 0,1(25) $ равна $2$. Поскольку $ 0 < 2 $, то $ 0,125 < 0,1(25) $.

3. Общий порядок.
Любое отрицательное число меньше любого положительного. Собирая все сравнения вместе, получаем итоговый ряд:
$ -2,(7) < -0,142536 < 0,125 < 0,1(25) $.

Ответ: $ -2,(7); -0,142536; 0,125; 0,1(25) $.

---

б) Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, сравним их.

Исходные числа: $ 1,(5); 0; 0,(12); -2,(778) $.

Запишем периодические дроби в развернутом виде:
$ 1,(5) = 1,555... $
$ 0,(12) = 0,121212... $
$ -2,(778) = -2,778778... $

1. Анализ набора чисел.
В наборе есть одно отрицательное число ($ -2,(778) $), ноль ($0$) и два положительных числа ($ 1,(5) $ и $ 0,(12) $).
Отрицательное число всегда меньше нуля, а ноль меньше любого положительного числа. Таким образом, наименьшее число — это $ -2,(778) $, за ним следует $0$.

2. Сравнение положительных чисел: $ 1,(5) $ и $ 0,(12) $.
$ 1,(5) = 1,555... $
$ 0,(12) = 0,1212... $
Сравниваем целые части этих чисел. У числа $ 1,(5) $ целая часть равна $1$, а у $ 0,(12) $ — $0$. Так как $ 1 > 0 $, то $ 1,(5) > 0,(12) $.

3. Общий порядок.
Собирая все сравнения вместе, получаем итоговую последовательность в порядке возрастания:
$ -2,(778) < 0 < 0,(12) < 1,(5) $.

Ответ: $ -2,(778); 0; 0,(12); 1,(5) $.