Номер 133, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.3. Сравнение действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 133, страница 34.

Условие.

133. Для чисел $2,(1)$ и $2,111$ укажите хотя бы одно такое число, которое было бы больше одного из этих чисел и меньше другого.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Для того чтобы найти число, которое находится между двумя данными числами, необходимо сначала сравнить их.

Первое число — это периодическая десятичная дробь $2,(1)$. Запись $2,(1)$ означает, что цифра 1 после запятой повторяется бесконечно. Распишем это число: $2,(1) = 2.11111...$

Второе число — это конечная десятичная дробь $2,111$. Чтобы было удобнее сравнивать, мы можем представить его в виде бесконечной дроби, добавив справа нули: $2,111 = 2.11100...$

Теперь выполним поразрядное сравнение этих двух чисел:

• Целые части у чисел одинаковы: $2 = 2$.
• Цифры в разряде десятых одинаковы: $1 = 1$.
• Цифры в разряде сотых одинаковы: $1 = 1$.
• Цифры в разряде тысячных одинаковы: $1 = 1$.
• В разряде десятитысячных у числа $2,(1)$ стоит цифра $1$, а у числа $2,111$ — цифра $0$.

Так как $1 > 0$, то число $2.1111...$ больше, чем число $2.1110...$. Следовательно, мы имеем неравенство: $2,(1) > 2,111$

Задача состоит в том, чтобы найти любое число $x$, которое удовлетворяет двойному неравенству: $2,111 < x < 2,(1)$ или $2,11100... < x < 2,11111...$

Для этого достаточно выбрать число, которое начинается с $2,111$, но имеет на четвертом или последующих знаках после запятой цифру, отличную от нуля, и при этом меньше $2,11111...$. Например, таким числом может быть $2,1111$.

Проверим, удовлетворяет ли оно условию: $2,111 < 2,1111$ — верно. $2,1111 < 2,(1)$ — верно, так как $2,1111 < 2,11111...$.

Таким образом, число $2,1111$ является одним из возможных решений. Можно было бы выбрать и другие числа, например, $2,1112$ или $2,1115$.

Ответ: $2,1111$.