Номер 140, страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.4. Основные свойства действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 140, страница 37.

Условие.

140. Укажите какое-либо число, заключённое между данными числами $a$ и $b$:

а) $a = 2,3; b = 2,4;$

б) $a = 3,2; b = 3,\overline{2};$

в) $a = -3,15; b = -3,14;$

г) $a = -5,\overline{3}; b = -5,\overline{21}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Даны два числа: $a = 2,3$ и $b = 2,4$. Задача состоит в том, чтобы найти любое число, которое находится между ними. То есть, найти такое число $x$, для которого выполняется неравенство $a < x < b$, или $2,3 < x < 2,4$. Чтобы было проще найти такое число, можно увеличить количество знаков после запятой у данных чисел, добавив нули. Это не изменит их значения: $a = 2,30$ и $b = 2,40$. Теперь нужно найти число $x$, которое больше $2,30$ и меньше $2,40$. Любое число из этого интервала подойдет, например: $2,31$, $2,32$, ..., $2,39$. В качестве примера выберем $2,35$. Другим универсальным способом является нахождение среднего арифметического двух чисел. Оно всегда будет находиться ровно посередине между ними. Среднее арифметическое: $x = \frac{a+b}{2} = \frac{2.3 + 2.4}{2} = \frac{4.7}{2} = 2.35$. Проверим: $2,3 < 2,35 < 2,4$. Условие выполняется.
Ответ: 2,35.

б) Даны числа $a = 3,2$ и $b = 3,(2)$. Число $b = 3,(2)$ является периодической десятичной дробью. Цифра 2 в скобках означает, что она бесконечно повторяется: $b = 3,2222...$. Нам нужно найти число $x$, удовлетворяющее неравенству $3,2 < x < 3,2222...$. Представим число $a$ с несколькими нулями после запятой, чтобы сравнение было нагляднее: $a = 3,2000...$. Теперь ищем число $x$ такое, что $3,2000... < x < 3,2222...$. Сравнивая числа по разрядам, мы видим, что они отличаются в разряде сотых: у числа $a$ там 0, а у числа $b$ — 2. Мы можем выбрать любое число, у которого в разряде сотых будет цифра между 0 и 2, например, 1. Возьмем число $x = 3,21$. Проверим: $3,2 < 3,21$ (верно) и $3,21 < 3,2222...$ (верно). Следовательно, число $3,21$ находится между $a$ и $b$.
Ответ: 3,21.

в) Даны числа $a = -3,15$ и $b = -3,14$. Оба числа отрицательные. При сравнении отрицательных чисел большим является то, чей модуль (абсолютная величина) меньше. Найдем модули чисел $a$ и $b$: $|a| = |-3.15| = 3.15$ $|b| = |-3.14| = 3.14$ Поскольку $3,14 < 3,15$, то $|b| < |a|$. Это означает, что $b > a$, или $-3,14 > -3,15$. Нам нужно найти число $x$, которое удовлетворяет неравенству $-3,15 < x < -3,14$. Для наглядности добавим нули в конце дробей: ищем $x$ в интервале от $-3,150$ до $-3,140$. Любое число из этого интервала подойдет, например, $-3,141, -3,142, ..., -3,149$. Можно также найти среднее арифметическое: $x = \frac{a+b}{2} = \frac{-3.15 + (-3.14)}{2} = \frac{-6.29}{2} = -3.145$. Число $-3,145$ находится ровно посередине между $-3,15$ и $-3,14$. Проверим: $-3,15 < -3,145 < -3,14$. Неравенство верное.
Ответ: -3,145.

г) Даны числа $a = -5,(3)$ и $b = -5,(21)$. Это периодические дроби. Раскроем их: $a = -5,3333...$ $b = -5,212121...$ Чтобы найти число между ними, сначала сравним сами числа $a$ и $b$. Сравним их модули: $|a| = |-5.3333...| = 5.3333...$ $|b| = |-5.212121...| = 5.212121...$ Сравниваем модули по разрядам. Целые части равны (5). Десятые доли у $|a|$ равны 3, а у $|b|$ равны 2. Так как $3 > 2$, то $|a| > |b|$. Для отрицательных чисел, чем больше модуль, тем меньше само число. Следовательно, $a < b$. Нам нужно найти число $x$, для которого выполняется неравенство $-5,3333... < x < -5,2121...$. На числовой прямой $a$ находится левее $b$. Мы можем выбрать число, которое находится между ними, например, $-5,3$. Проверим, подходит ли $x = -5,3$: 1. Сравним $a$ и $x$: $-5,333... < -5,3$. Это неравенство верно, так как $5,333... > 5,3$. 2. Сравним $x$ и $b$: $-5,3 < -5,2121...$. Это неравенство тоже верно, так как $5,3 > 5,2121...$. Таким образом, число $-5,3$ удовлетворяет условию. Также подошли бы числа $-5,25$ или $-5,31$.
Ответ: -5,3.