Номер 142, страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.4. Основные свойства действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 142, страница 37.

Условие.

Верно ли неравенство (142—143):

142. а) $3.5 + 2.729 < 3.6 + 2.729;$

б) $-3.21 + 0.(4) < -3 + 0.(4);$

в) $-5.6 + 3.2 < -5.1 + 3.(2);$

г) $5 + 0.1 < 5.1 + 0.10110111\dots?`

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) $3,5 + 2,729 < 3,6 + 2,729$

Это неравенство можно упростить, используя свойство неравенств: если к обеим частям верного неравенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство. Вычтем из обеих частей число $2,729$.

$3,5 + 2,729 - 2,729 < 3,6 + 2,729 - 2,729$

$3,5 < 3,6$

Полученное неравенство является верным, так как целые части чисел равны, а в разряде десятых $5 < 6$. Следовательно, исходное неравенство также верно.

Ответ: неравенство верно.

б) $-3,21 + 0,(4) < -3 + 0,(4)$

Аналогично предыдущему пункту, вычтем из обеих частей неравенства одинаковое слагаемое $0,(4)$ (где $0,(4) = 0,444...$ — периодическая десятичная дробь).

$-3,21 + 0,(4) - 0,(4) < -3 + 0,(4) - 0,(4)$

$-3,21 < -3$

Получили неравенство, в котором сравниваются два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше. Так как $|-3,21| = 3,21$ и $|-3| = 3$, и при этом $3,21 > 3$, то $-3,21 < -3$. Неравенство верно, значит, и исходное неравенство верно.

Ответ: неравенство верно.

в) $-5,6 + 3,2 < -5,1 + 3,(2)$

В этом неравенстве слагаемые в обеих частях различны, поэтому необходимо вычислить значения левой и правой частей.

1. Вычислим значение левой части:

$-5,6 + 3,2 = -2,4$

2. Вычислим значение правой части. Сначала представим периодическую дробь $3,(2)$ в виде обыкновенной:

$3,(2) = 3 + 0,(2) = 3 + \frac{2}{9} = \frac{27}{9} + \frac{2}{9} = \frac{29}{9}$

Теперь выполним сложение в правой части:

$-5,1 + 3,(2) = -5,1 + \frac{29}{9} = -\frac{51}{10} + \frac{29}{9} = \frac{-51 \cdot 9 + 29 \cdot 10}{90} = \frac{-459 + 290}{90} = -\frac{169}{90}$

Для сравнения переведем $-\frac{169}{90}$ в десятичную дробь: $-\frac{169}{90} = -1,8777... = -1,8(7)$.

3. Сравним полученные значения:

$-2,4 < -1,8(7)$

Так как $2,4 > 1,8(7)$, то для отрицательных чисел выполняется обратное соотношение: $-2,4 < -1,8(7)$. Неравенство верно, следовательно, и исходное неравенство верно.

Ответ: неравенство верно.

г) $5 + 0,1 < 5,1 + 0,10110111...$

Вычислим значение левой части неравенства:

$5 + 0,1 = 5,1$

Теперь подставим это значение в исходное неравенство:

$5,1 < 5,1 + 0,10110111...$

Вычтем из обеих частей неравенства число $5,1$:

$5,1 - 5,1 < 5,1 + 0,10110111... - 5,1$

$0 < 0,10110111...$

Число $0,10110111...$ является положительным, так как оно больше нуля. Следовательно, полученное неравенство верно, а значит и исходное неравенство тоже верно.

Ответ: неравенство верно.