Номер 149, страница 41 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.5. Приближения чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 149, страница 41.

Условие.

149. а) Какими числами приближают действительные числа?

б) Как получить более точные приближения действительного числа?

в) Какие цифры называют значащими в записи числа в виде десятичной дроби?

г) Что значит округлить число до второй значащей цифры?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Действительные числа, особенно иррациональные (например, $\pi$, $\sqrt{2}$) или рациональные с бесконечной периодической дробной частью (например, $1/3 = 0.333...$), на практике приближают с помощью рациональных чисел, которые можно записать в виде конечных десятичных дробей. Такое приближение называют приближенным значением числа. Его получают путем отбрасывания (усечения) или округления всех цифр в десятичной записи действительного числа, начиная с некоторого разряда. Например, для числа $\pi = 3.14159265...$ приближенными значениями являются $3.14$ (с недостатком до сотых) или $3.1416$ (с избытком до десятитысячных, полученное округлением).
Ответ: Действительные числа приближают рациональными числами, чаще всего — конечными десятичными дробями.

б) Чтобы получить более точное приближение действительного числа, нужно увеличить количество знаков (цифр) после запятой, которые сохраняются в его десятичной записи. Чем больше знаков мы учитываем, тем меньше абсолютная погрешность, то есть разница между самим числом и его приближением. Например, для числа $e = 2.7182818...$ приближение $2.718$ является более точным, чем приближение $2.72$, так как оно ближе к истинному значению. Точность приближения увеличивается с каждым добавленным знаком после запятой.
Ответ: Для получения более точного приближения необходимо увеличить количество знаков (цифр) в его десятичной записи.

в) В записи числа в виде десятичной дроби значащими цифрами называют все цифры, начиная с первой слева, не равной нулю. Например:
- В числе 25.34 все четыре цифры (2, 5, 3, 4) являются значащими.
- В числе 0.0709 значащими являются цифры 7, 0, 9 (всего три значащие цифры). Нули в начале числа не считаются значащими, так как они лишь указывают на порядок числа.
- В числе 45.00 все четыре цифры (4, 5, 0, 0) являются значащими. Нули в конце дробной части указывают на точность, с которой известно число.
Ответ: Значащими цифрами десятичной дроби являются все ее цифры, начиная с первой ненулевой слева.

г) Округлить число до второй значащей цифры означает представить его в виде приближенного значения, содержащего только две первые значащие цифры. Для этого нужно:
1. Найти первые две значащие цифры в числе.
2. Посмотреть на третью значащую цифру. Если она равна 5, 6, 7, 8 или 9, то вторую значащую цифру увеличивают на 1. Если третья значащая цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то вторая значащая цифра остается без изменений.
3. Все последующие значащие цифры заменяются нулями, если они стоят до запятой, или отбрасываются, если стоят после запятой.
Например, округление числа $387.5$ до второй значащей цифры: первые две значащие цифры — 3 и 8. Третья — 7 (больше 5), значит, 8 увеличиваем до 9. Результат: $390$.
Другой пример, округление числа $0.01528$: первые две значащие цифры — 1 и 5. Третья — 2 (меньше 5), значит, 5 оставляем без изменений. Результат: $0.015$.
Ответ: Это значит заменить число его приближением, оставив только две первые значащие цифры и применив к последней из них правило округления, а остальные цифры отбросить или заменить нулями.