Номер 143, страница 37 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.4. Основные свойства действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 143, страница 37.

Условие.

143. а) $3,7 \cdot 0,8 < 3,8 \cdot 0,8;$

б) $-5,1 \cdot 0,(3) < -5 \cdot 0,(3);$

В) $-4,7(1) \cdot 0,5 < -4,7 \cdot 0,5;$

Г) $-3,(8) \cdot 0,5 < -3,8 \cdot 0,(5)?$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы определить, верно ли неравенство $3,7 \cdot 0,8 < 3,8 \cdot 0,8$, мы можем использовать свойство неравенств. Сравним первые множители: $3,7 < 3,8$. Это верное неравенство. Оба числа умножаются на одно и то же положительное число $0,8$. Согласно свойству неравенств, если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Следовательно, умножив неравенство $3,7 < 3,8$ на $0,8$, мы получим верное неравенство $3,7 \cdot 0,8 < 3,8 \cdot 0,8$.
Для проверки можно вычислить значения:
Левая часть: $3,7 \cdot 0,8 = 2,96$
Правая часть: $3,8 \cdot 0,8 = 3,04$
Так как $2,96 < 3,04$, неравенство верно.
Ответ: неравенство верно.

б) Рассмотрим неравенство $-5,1 \cdot 0,(3) < -5,0 \cdot 0,(3)$. Сравним первые множители: $-5,1$ и $-5,0$. Так как $-5,1$ находится левее на числовой прямой, чем $-5,0$, то $-5,1 < -5,0$. Оба числа умножаются на одно и то же число $0,(3)$. Число $0,(3)$ — это бесконечная периодическая дробь, равная $1/3$, и оно положительное. При умножении обеих частей верного неравенства на положительное число знак неравенства сохраняется. Таким образом, неравенство $-5,1 \cdot 0,(3) < -5,0 \cdot 0,(3)$ является верным.
Для проверки можно вычислить значения:
$0,(3) = 1/3$.
Левая часть: $-5,1 \cdot \frac{1}{3} = -1,7$
Правая часть: $-5,0 \cdot \frac{1}{3} = -5/3 \approx -1,666...$
Так как $-1,7 < -1,666...$, неравенство верно.
Ответ: неравенство верно.

в) Рассмотрим неравенство $-4,7(1) \cdot 0,5 < -4,7 \cdot 0,5$. Сначала сравним первые множители: $-4,7(1)$ и $-4,7$. Распишем их: $-4,7(1) = -4,7111...$ и $-4,7 = -4,7000...$. Сравнивая положительные числа $4,7111...$ и $4,7000...$, получаем $4,7111... > 4,7000...$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-4,7111... < -4,7000...$, то есть $-4,7(1) < -4,7$. Обе части этого верного неравенства умножаются на положительное число $0,5$. Знак неравенства при этом не меняется. Следовательно, неравенство $-4,7(1) \cdot 0,5 < -4,7 \cdot 0,5$ является верным.
Ответ: неравенство верно.

г) Требуется проверить, верно ли неравенство $-3,(8) \cdot 0,5 < -3,8 \cdot 0,(5)$. В этом случае множители в обеих частях различны, поэтому необходимо вычислить значения левой и правой частей. Для точности переведем десятичные дроби в обыкновенные.
Вычислим левую часть:
$3,(8) = 3\frac{8}{9} = \frac{3 \cdot 9 + 8}{9} = \frac{35}{9}$
$0,5 = \frac{1}{2}$
$-3,(8) \cdot 0,5 = -\frac{35}{9} \cdot \frac{1}{2} = -\frac{35}{18}$
Вычислим правую часть:
$3,8 = 3\frac{8}{10} = \frac{38}{10} = \frac{19}{5}$
$0,(5) = \frac{5}{9}$
$-3,8 \cdot 0,(5) = -\frac{19}{5} \cdot \frac{5}{9} = -\frac{19 \cdot 5}{5 \cdot 9} = -\frac{19}{9}$
Теперь сравним полученные дроби: $-\frac{35}{18}$ и $-\frac{19}{9}$. Приведем дробь $-\frac{19}{9}$ к знаменателю $18$:
$-\frac{19}{9} = -\frac{19 \cdot 2}{9 \cdot 2} = -\frac{38}{18}$
Сравниваем $-\frac{35}{18}$ и $-\frac{38}{18}$. Так как $-35 > -38$, то $-\frac{35}{18} > -\frac{38}{18}$.
Это означает, что исходное неравенство $-3,(8) \cdot 0,5 < -3,8 \cdot 0,(5)$ неверно.
Ответ: неравенство неверно.