Номер 136, страница 36 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.4. Основные свойства действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 136, страница 36.

Условие.

136. Сохранится ли неравенство, если:

а) к обеим его частям прибавить действительное число;

б) обе его части умножить на положительное число;

в) обе его части умножить на нуль или отрицательное число?

Приведите примеры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) к обеим его частям прибавить действительное число;
Да, неравенство сохранится. Согласно одному из основных свойств числовых неравенств, если к обеим частям верного неравенства прибавить одно и то же действительное число, то знак неравенства не изменится.
Формально: если $a > b$ и $c$ — любое действительное число, то $a + c > b + c$.
Пример:
Возьмем верное неравенство $5 > 2$. Прибавим к обеим его частям число $3$:
$5 + 3 > 2 + 3$
$8 > 5$ (верно).
Теперь прибавим к обеим частям исходного неравенства отрицательное число $-4$:
$5 + (-4) > 2 + (-4)$
$1 > -2$ (верно).
Ответ: да, неравенство сохранится.

б) обе его части умножить на положительное число;
Да, неравенство сохранится. Если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Формально: если $a > b$ и $c > 0$, то $ac > bc$.
Пример:
Возьмем верное неравенство $10 > 4$. Умножим обе его части на положительное число $3$:
$10 \cdot 3 > 4 \cdot 3$
$30 > 12$ (верно).
Ответ: да, неравенство сохранится.

в) обе его части умножить на нуль или отрицательное число?
Нет, неравенство не сохранится. Здесь нужно рассмотреть два случая:
1. Умножение на нуль. При умножении обеих частей неравенства на нуль, они обе становятся равными нулю. Таким образом, любое строгое неравенство ($>$ или <) превращается в неверное утверждение, а нестрогое ($\ge$ или $\le$) — в верное равенство.
Пример:
Возьмем верное неравенство $7 > -1$. Умножим обе части на $0$:
$7 \cdot 0 > -1 \cdot 0$
$0 > 0$ (неверно). Исходное неравенство не сохранилось, а превратилось в равенство $0 = 0$.
2. Умножение на отрицательное число. При умножении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства необходимо изменить на противоположный ( $>$ на <, < на $>$, $\ge$ на $\le$, $\le$ на $\ge$).
Формально: если $a > b$ и $c < 0$, то $ac < bc$.
Пример:
Возьмем верное неравенство $5 > 3$. Умножим обе части на $-2$. Если мы сохраним знак, получим $5 \cdot (-2) > 3 \cdot (-2)$, что равносильно $-10 > -6$ (неверно). Чтобы неравенство осталось верным, нужно поменять его знак на противоположный:
$5 \cdot (-2) < 3 \cdot (-2)$
$-10 < -6$ (верно).
Ответ: нет, не сохранится. При умножении на нуль неравенство обращается в равенство, а при умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.