Номер 132, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.3. Сравнение действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 132, страница 34.

Условие.

132. Верно ли двойное неравенство:

a) $106,727272 \le 106,(72) < 106,727273;$

б) $-0,313132 < -0,(31) \le -0,313131?$'

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

a) Проверим верность двойного неравенства $106,727272 \le 106,(72) < 106,727273$.

Число $106,(72)$ является бесконечной периодической десятичной дробью, которую можно представить в развернутом виде как $106,72727272...$.

Для проверки двойного неравенства необходимо проверить верность двух неравенств: $106,727272 \le 106,(72)$ и $106,(72) < 106,727273$.

1. Сравним $106,727272$ и $106,(72)$.
$106,727272 = 106,72727200...$
$106,(72) = 106,72727272...$
Целые части и первые шесть цифр после запятой у этих чисел совпадают. Сравним седьмые цифры после запятой: у первого числа это $0$, у второго — $7$. Так как $0 < 7$, то $106,727272 < 106,72727272...$. Следовательно, неравенство $106,727272 \le 106,(72)$ верно.

2. Сравним $106,(72)$ и $106,727273$.
$106,(72) = 106,72727272...$
$106,727273 = 106,72727300...$
Целые части и первые шесть цифр после запятой у этих чисел совпадают. Сравним седьмые цифры после запятой: у первого числа это $7$, у второго — $3$. Так как $7 > 3$, то $106,72727272... > 106,727273$. Следовательно, неравенство $106,(72) < 106,727273$ неверно.

Поскольку вторая часть двойного неравенства неверна, то всё двойное неравенство неверно.

Ответ: неверно.

---

б) Проверим верность двойного неравенства $-0,313132 < -0,(31) \le -0,313131$.

Число $-0,(31)$ является бесконечной периодической десятичной дробью, которую можно представить как $-0,31313131...$.

Вспомним правило сравнения отрицательных чисел: из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.

Проверим верность двух неравенств: $-0,313132 < -0,(31)$ и $-0,(31) \le -0,313131$.

1. Сравним $-0,313132$ и $-0,(31)$.
Для этого сравним их модули: $|-0,313132| = 0,313132$ и $|-0,(31)| = 0,(31) = 0,31313131...$.
$0,31313200...$
$0,31313131...$
Первые пять цифр после запятой совпадают. Сравним шестые цифры: $2 > 1$. Значит, $0,313132 > 0,31313131...$.
Так как модуль первого числа больше модуля второго, то для отрицательных чисел будет верно обратное неравенство: $-0,313132 < -0,(31)$. Следовательно, первая часть неравенства верна.

2. Сравним $-0,(31)$ и $-0,313131$.
Сравним их модули: $|-0,(31)| = 0,31313131...$ и $|-0,313131| = 0,313131$.
$0,31313131...$
$0,31313100...$
Первые шесть цифр после запятой совпадают. Сравним седьмые цифры: $3 > 0$. Значит, $0,31313131... > 0,313131$.
Так как модуль первого числа больше модуля второго, то для отрицательных чисел будет верно $-0,(31) < -0,313131$.
Поскольку условие "меньше или равно" ($\le$) выполняется, если выполняется хотя бы одно из условий ("меньше" или "равно"), то неравенство $-0,(31) \le -0,313131$ верно.

Поскольку обе части двойного неравенства верны, то всё двойное неравенство верно.

Ответ: верно.