Номер 128, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.3. Сравнение действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 128, страница 34.

Условие.

Сравните числа (128–129):

128. а) $2,42424242...$ и $-2,42424242...$;

б) $0$ и $-10,(4)$;

в) $5,444444...$ и $5,544444...$;

г) $0,1(1)$ и $0,(2)$;

д) $0,333333$ и $\frac{1}{3}$;

е) $\frac{1}{9}$ и $0,(1)$;

ж) $-4,313131...$ и $-4,3131131...$;

з) $0,(27)$ и $\frac{3}{10}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Сравниваем положительное число $2,424242...$ и отрицательное число $-2,424242...$. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Следовательно, $2,424242... > -2,424242...$.
Ответ: $2,424242... > -2,424242...$

б) Сравниваем число $0$ и отрицательное число $-10,(4)$. Число $-10,(4)$ можно записать как $-10,444...$. Ноль больше любого отрицательного числа. Следовательно, $0 > -10,(4)$.
Ответ: $0 > -10,(4)$

в) Сравниваем два положительных числа $5,444444...$ и $5,544444...$. Целые части у них одинаковы и равны $5$. Сравниваем дробные части поразрядно, начиная с десятых. У первого числа в разряде десятых стоит цифра $4$, а у второго — $5$. Так как $4 < 5$, то первое число меньше второго.
Ответ: $5,444444... < 5,544444...$

г) Сравниваем числа $0,1(1)$ и $0,(2)$. Запишем их в развернутом виде: $0,1(1) = 0,1111...$ и $0,(2) = 0,2222...$. Оба числа положительные. Сравниваем их поразрядно. Целые части равны $0$. В разряде десятых у первого числа стоит $1$, а у второго — $2$. Так как $1 < 2$, то первое число меньше второго.
Ответ: $0,1(1) < 0,(2)$

д) Сравним число $0,333333$ и дробь $\frac{1}{3}$. Для этого представим дробь $\frac{1}{3}$ в виде десятичной дроби: $1 \div 3 = 0,333333... = 0,(3)$. Теперь сравним $0,333333$ и $0,333333...$. Первые шесть цифр после запятой у них совпадают. Седьмая цифра после запятой у первого числа равна $0$ (так как это конечная дробь), а у второго — $3$. Поскольку $0 < 3$, первое число меньше второго.
Ответ: $0,333333 < \frac{1}{3}$

е) Сравним дробь $\frac{1}{9}$ и число $0,(1)$. Представим $0,(1)$ в виде обыкновенной дроби. Пусть $x = 0,(1) = 0,111...$. Тогда $10x = 1,111...$. Вычтем из второго уравнения первое: $10x - x = 1,111... - 0,111...$, что дает $9x=1$, откуда $x = \frac{1}{9}$. Следовательно, данные числа равны. Другой способ: перевести $\frac{1}{9}$ в десятичную дробь: $1 \div 9 = 0,111... = 0,(1)$.
Ответ: $\frac{1}{9} = 0,(1)$

ж) Сравниваем два отрицательных числа: $-4,313131...$ и $-4,311311131...$. Для этого сначала сравним их модули (абсолютные величины): $4,313131...$ и $4,311311131...$. Сравниваем их поразрядно. Целые части и первые два десятичных знака ($31$) совпадают. Третий десятичный знак у первого числа — $3$, а у второго — $1$. Так как $3 > 1$, то $4,313131... > 4,311311131...$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный.
Ответ: $-4,313131... < -4,311311131...$

з) Сравним число $0,(27)$ и дробь $\frac{3}{10}$. Переведем дробь $\frac{3}{10}$ в десятичный вид: $\frac{3}{10} = 0,3$. Теперь сравним $0,(27) = 0,2727...$ и $0,3$. Оба числа положительные. Сравниваем их поразрядно. Целые части равны $0$. В разряде десятых у первого числа стоит $2$, а у второго — $3$. Так как $2 < 3$, то первое число меньше второго.
Ответ: $0,(27) < \frac{3}{10}$