Номер 124, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.3. Сравнение действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 124, страница 33.

Условие.

124. В каком случае:

а) если $a > b$, то и $|a| > |b|$;

б) если $a > b$, то $|a| < |b|$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) если a > b, то и |a| > |b|;
Рассмотрим неравенство $|a| > |b|$. Поскольку модуль числа является неотрицательной величиной, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, при этом знак неравенства сохранится.
$|a|^2 > |b|^2$
Это равносильно следующему неравенству:
$a^2 > b^2$
Перенесем $b^2$ в левую часть:
$a^2 - b^2 > 0$
Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов:
$(a-b)(a+b) > 0$
По условию задачи, нам дано, что $a > b$. Из этого следует, что разность $(a-b)$ всегда является положительным числом, то есть $a-b > 0$.
Произведение двух множителей положительно в том случае, если оба множителя имеют одинаковый знак. Так как мы установили, что первый множитель $(a-b)$ положителен, то для выполнения неравенства второй множитель $(a+b)$ также должен быть положителен.
$a+b > 0$
Таким образом, исходное утверждение верно в том случае, когда сумма чисел $a$ и $b$ положительна.
Ответ: Утверждение верно, если сумма чисел $a$ и $b$ положительна, то есть $a+b > 0$.

б) если a > b, то |a| < |b|?
Рассмотрим неравенство $|a| < |b|$. Проведем рассуждения, аналогичные предыдущему пункту. Возведем обе части неравенства в квадрат:
$|a|^2 < |b|^2$
$a^2 < b^2$
$a^2 - b^2 < 0$
$(a-b)(a+b) < 0$
Как и в предыдущем пункте, из условия $a > b$ следует, что множитель $(a-b)$ строго положителен: $a-b > 0$.
Произведение двух множителей отрицательно в том случае, если множители имеют разные знаки. Поскольку первый множитель $(a-b)$ положителен, для выполнения неравенства второй множитель $(a+b)$ должен быть отрицателен.
$a+b < 0$
Следовательно, исходное утверждение верно в том случае, когда сумма чисел $a$ и $b$ отрицательна.
Ответ: Утверждение верно, если сумма чисел $a$ и $b$ отрицательна, то есть $a+b < 0$.