Номер 119, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.3. Сравнение действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 119, страница 33.

Условие.

119. В каком случае два действительных числа a и b равны ($a = b$)?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Два действительных числа $a$ и $b$ считаются равными, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий. В зависимости от контекста (алгебра, геометрия, математический анализ) удобнее использовать разные определения.

Определение через разность. Это наиболее прямолинейное и часто используемое алгебраическое определение. Два действительных числа $a$ и $b$ равны тогда и только тогда, когда их разность равна нулю. Математически это записывается как: $a = b \iff a - b = 0$. Этот критерий напрямую следует из аксиом числового поля.

Определение через отношение порядка. Множество действительных чисел является линейно упорядоченным. Это означает, что для любых двух чисел $a$ и $b$ выполняется ровно одно из трех соотношений: $a < b$, $a > b$ или $a = b$ (закон трихотомии). Следовательно, два числа $a$ и $b$ равны в том и только в том случае, если неверно, что $a$ меньше $b$, и неверно, что $a$ больше $b$. На практике это приводит к очень полезному критерию, который часто используется в доказательствах: чтобы доказать равенство $a=b$, достаточно доказать два неравенства: $a \le b$ и $b \le a$. Если оба эти условия выполняются одновременно, единственной возможностью является равенство. Формально: $a = b \iff (a \le b \text{ и } b \le a)$.

Геометрическая интерпретация. В геометрии действительные числа представляют собой точки на числовой прямой (оси). Каждому действительному числу соответствует ровно одна точка, и каждой точке соответствует ровно одно действительное число. В этом контексте два действительных числа $a$ и $b$ равны, если они соответствуют одной и той же точке на числовой прямой.

Определение через десятичные представления. Можно сказать, что два положительных действительных числа равны, если у них совпадают целые части и все соответствующие цифры в их бесконечных десятичных записях. Однако этот подход имеет особенность: некоторые числа имеют две разные десятичные записи. Классический пример — это число 1, которое можно записать как $1,000...$ и как $0,999...$ ($0,(9)$). Поскольку $1 = 0,(9)$, прямое поразрядное сравнение может быть неточным без специальных оговорок. Поэтому данное определение, хоть и интуитивно понятное, в строгой математике используется реже.

Ответ: Два действительных числа $a$ и $b$ равны, если их разность равна нулю ($a - b = 0$). Эквивалентное и часто используемое в доказательствах условие: числа $a$ и $b$ равны, если одновременно выполняются неравенства $a \le b$ и $b \le a$. Геометрически равенство чисел означает, что они изображаются одной и той же точкой на числовой прямой.