Номер 113, страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.2. Понятие действительного числа. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 113, страница 31.

Условие.

113. Что называют абсолютной величиной действительного числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Определение

Абсолютной величиной (или модулем) действительного числа $a$ называется неотрицательное число, которое определяется следующим образом:
- если число $a$ неотрицательное (то есть $a \ge 0$), то его абсолютная величина равна самому числу $a$;
- если число $a$ отрицательное (то есть $a < 0$), то его абсолютная величина равна противоположному числу $-a$.

Формально определение абсолютной величины записывается с помощью системы: $$ |a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \ge 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases} $$ Абсолютная величина числа $a$ обозначается символом $|a|$.

Геометрический смысл

Геометрически абсолютная величина действительного числа — это расстояние на координатной прямой от точки, соответствующей этому числу, до начала отсчёта (точки 0). Так как расстояние не может быть отрицательным, абсолютная величина любого числа всегда является неотрицательной.

Примеры

- Абсолютная величина числа 7 равна 7, так как 7 — положительное число: $|7| = 7$.
- Абсолютная величина числа -3 равна 3, так как -3 — отрицательное число, и противоположное ему число есть $-(-3) = 3$. Расстояние от -3 до 0 на числовой прямой равно 3. Запись: $|-3| = 3$.
- Абсолютная величина нуля равна нулю: $|0| = 0$.
- $| \pi - 3 | = \pi - 3$, так как $\pi \approx 3.14159$, и, следовательно, выражение $\pi - 3$ положительно.
- $| 1 - \sqrt{2} | = - (1 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$, так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, и, следовательно, выражение $1 - \sqrt{2}$ отрицательно.

Основные свойства абсолютной величины

Для любых действительных чисел $a$ и $b$ справедливы следующие свойства:
1. $|a| \ge 0$ (неотрицательность).
2. $|a| = 0$ тогда и только тогда, когда $a = 0$.
3. $|a| = |-a|$ (симметричность относительно нуля).
4. $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ (мультипликативность).
5. $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ (при $b \neq 0$).
6. $|a + b| \le |a| + |b|$ (неравенство треугольника).
7. $|a - b|$ — это расстояние между точками $a$ и $b$ на координатной прямой.
8. $\sqrt{a^2} = |a|$.

Ответ: Абсолютной величиной (модулем) действительного числа $a$ называют само число $a$, если оно неотрицательное ($a \ge 0$), или противоположное ему число $-a$, если оно отрицательное ($a < 0$). Геометрически это расстояние от точки, представляющей число $a$ на числовой прямой, до начала координат.