Номер 110, страница 30 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.1. Иррациональные числа. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 110, страница 30.

Условие.

110. Запишите два числа, одновременно являющиеся:

а) рациональными и отрицательными;

б) целыми и кратными 5;

в) целыми и положительными;

г) простыми и большими 50.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) рациональными и отрицательными

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число, а знаменатель $n$ — натуральное число. Отрицательное число — это число, которое меньше нуля.

Чтобы число было одновременно рациональным и отрицательным, оно должно быть меньше нуля и представимо в виде дроби. Примерами таких чисел могут служить любые отрицательные целые числа, отрицательные обыкновенные дроби или отрицательные конечные и периодические десятичные дроби.

Пример 1: $-15$. Это число отрицательное. Оно является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $\frac{-15}{1}$.

Пример 2: $-3.5$. Это число отрицательное. Оно является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $-\frac{35}{10}$ или, после сокращения, $-\frac{7}{2}$.

Ответ: $-15$ и $-3.5$. (Также подходят, например: $-1$; $-\frac{2}{3}$; $-100.1$)

б) целыми и кратными 5

Целое число — это число без дробной части (например, ..., $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, ...). Число является кратным 5, если оно делится на 5 нацело (без остатка). Формально, число $k$ кратно 5, если существует такое целое число $n$, что $k = 5 \cdot n$.

Следовательно, нам нужно найти два целых числа, которые делятся на 5.

Пример 1: $20$. Это целое число. Оно кратно 5, так как $20 \div 5 = 4$, то есть $20 = 5 \cdot 4$.

Пример 2: $-45$. Это целое число. Оно кратно 5, так как $-45 \div 5 = -9$, то есть $-45 = 5 \cdot (-9)$.

Ответ: $20$ и $-45$. (Также подходят, например: $0$; $5$; $-100$)

в) целыми и положительными

Целое число — это число без дробной части. Положительное число — это число, которое больше нуля. Целые положительные числа также называют натуральными числами. Это числа, которые мы используем для счета: $1, 2, 3, 4, ...$

Необходимо выбрать любые два числа из этого множества.

Пример 1: $7$. Это целое и положительное число.

Пример 2: $148$. Это целое и положительное число.

Ответ: $7$ и $148$. (Также подходят любые другие натуральные числа, например: $1$; $50$; $2023$)

г) простыми и большими 50

Простое число — это натуральное число больше $1$, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Нам нужно найти два таких числа, которые больше $50$.

Для этого будем последовательно проверять числа больше 50 на простоту:

• $51$: делится на 3 (так как сумма цифр $5+1=6$ делится на 3), $51 = 3 \cdot 17$. Не является простым.
• $52$: четное, делится на 2. Не является простым.
• $53$: не делится на 2, 3, 5. Проверим делимость на 7: $53$ не делится на $7$ ($7 \cdot 7 = 49$). Следующий простой делитель для проверки — 11, но $11^2 = 121 > 53$, поэтому дальнейшие проверки не нужны. Значит, 53 — простое число.
• $54, 55, 56, 57, 58$ — составные числа (делятся на 2, 5, 2, 3, 2 соответственно).
• $59$: не делится на 2, 3, 5. Проверим делимость на 7: $59$ не делится на $7$ ($7 \cdot 8 = 56$). Следующий простой делитель 11, но $11^2 = 121 > 59$. Значит, 59 — простое число.

Мы нашли два простых числа, которые больше 50.

Ответ: $53$ и $59$. (Также подходят, например: $61$; $67$; $71$)