Номер 111, страница 31 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.2. Понятие действительного числа. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 111, страница 31.

Условие.

111. Какое число называют:

а) рациональным;

б) иррациональным;

в) действительным?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) рациональным;

Рациональным числом (от лат. ratio — отношение, деление, дробь) называют число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ является целым числом ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$).

Множество всех рациональных чисел принято обозначать символом $\mathbb{Q}$.

Любое рациональное число может быть представлено либо в виде конечной десятичной дроби (например, $0,25 = \frac{1}{4}$), либо в виде бесконечной периодической десятичной дроби (например, $\frac{2}{3} = 0,666... = 0,(6)$). Целые числа также являются рациональными, так как любое целое число $m$ можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $m = \frac{m}{1}$.

Ответ: Рациональным называют число, которое можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

б) иррациональным;

Иррациональным числом называют число, которое не является рациональным. Это означает, что его невозможно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число.

В виде десятичной дроби иррациональные числа представляются как бесконечные непериодические дроби. Это значит, что последовательность цифр после запятой никогда не заканчивается и в ней нет повторяющейся группы цифр (периода).

Классическими примерами иррациональных чисел являются корень квадратный из двух $\sqrt{2} \approx 1,41421356...$, число Пи $\pi \approx 3,14159265...$ (выражающее отношение длины окружности к её диаметру) и число Эйлера $e \approx 2,71828182...$ (основание натурального логарифма).

Ответ: Иррациональным называют число, которое нельзя представить в виде дроби $\frac{m}{n}$ (где $m \in \mathbb{Z}$, $n \in \mathbb{N}$); его десятичное представление является бесконечной непериодической дробью.

в) действительным?

Действительным (или вещественным) числом называют любое число, которое является либо рациональным, либо иррациональным. Таким образом, множество действительных чисел представляет собой объединение множества рациональных чисел ($\mathbb{Q}$) и множества иррациональных чисел.

Множество действительных чисел обозначается символом $\mathbb{R}$.

Действительные числа можно представить точками на бесконечной числовой (координатной) прямой. При этом каждому действительному числу соответствует единственная точка на этой прямой, и наоборот, каждой точке на прямой соответствует единственное действительное число.

Ответ: Действительным называют любое рациональное или иррациональное число. Совокупность всех действительных чисел полностью заполняет числовую прямую.