Номер 117, страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.2. Понятие действительного числа. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 117, страница 32.

Условие.

117. a) Любое ли иррациональное число является действительным числом?

б) Каждое ли действительное число является иррациональным числом?

в) Известно, что $ \pi $ — число иррациональное и что $ \pi \approx 3,14 $. Являются ли действительными числа $ \pi $ и 3,14?

г) Существует ли рациональное число, разлагающееся в бесконечную непериодическую дробь?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Множество действительных чисел ($ \mathbb{R} $) по определению является объединением множества рациональных чисел ($ \mathbb{Q} $) и множества иррациональных чисел ($ \mathbb{I} $). Это означает, что любое иррациональное число является подмножеством действительных чисел, а значит, является действительным числом.
Ответ: Да, любое иррациональное число является действительным.

б) Нет, это утверждение неверно. Множество действительных чисел состоит не только из иррациональных, но и из рациональных чисел. Например, число 7 является действительным числом, но оно рациональное (так как $7 = \frac{7}{1}$), а не иррациональное. Таким образом, существуют действительные числа, которые не являются иррациональными.
Ответ: Нет, не каждое действительное число является иррациональным.

в) Да, оба числа являются действительными. Число $ \pi $ является иррациональным, а как установлено в пункте а), все иррациональные числа — действительные. Число 3,14 является конечной десятичной дробью, которую можно представить в виде обыкновенной дроби $ \frac{314}{100} $. Любое число, представимое в виде дроби, является рациональным. Все рациональные числа также являются действительными. Следовательно, и $ \pi $, и 3,14 — действительные числа.
Ответ: Да, являются.

г) По определению, любое рациональное число может быть представлено в виде десятичной дроби, которая будет либо конечной, либо бесконечной, но обязательно периодической. Бесконечная непериодическая десятичная дробь — это и есть определение иррационального числа. Таким образом, не существует рационального числа, которое разлагается в бесконечную непериодическую дробь, так как это противоречит определению рационального числа.
Ответ: Нет, не существует.