Номер 122, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.3. Сравнение действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 122, страница 33.

Условие.

122. Как сравнивают:

a) положительные действительные числа;

б) отрицательные действительные числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Для сравнения двух положительных действительных чисел их представляют в виде бесконечных десятичных дробей и сравнивают поразрядно, двигаясь слева направо.

1. Сначала сравнивают их целые части. Большим будет то число, у которого целая часть больше. Например, при сравнении чисел $15.7$ и $8.999$, так как $15 > 8$, то $15.7 > 8.999$.

2. Если целые части чисел равны, то начинают поразрядно сравнивать их дробные части, двигаясь слева направо (десятые с десятыми, сотые с сотыми и так далее), до первого несовпадающего разряда.

3. Большим считается то число, у которого соответствующая цифра в этом разряде больше. Например, сравним числа $3.1415$ и $3.1428$.
- Целые части равны: $3=3$.
- Цифры в разряде десятых равны: $1=1$.
- Цифры в разряде сотых равны: $4=4$.
- Цифры в разряде тысячных различны: $1 < 2$.
Следовательно, $3.1415 < 3.1428$.

Другой способ сравнения двух положительных чисел $a$ и $b$ — найти их разность $a - b$. Если разность $a - b > 0$, то $a > b$. Если $a - b < 0$, то $a < b$.

Ответ: из двух положительных действительных чисел больше то, у которого модуль (абсолютная величина) больше. Сравнение можно производить поразрядно слева направо: больше то число, у которого первая из неодинаковых цифр больше.

б) Сравнение отрицательных действительных чисел основано на сравнении их модулей (абсолютных величин).

Правило сравнения: из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.

Пусть нам нужно сравнить два отрицательных числа, $-a$ и $-b$ (где $a > 0$ и $b > 0$). Для этого мы сравниваем их модули, то есть положительные числа $a$ и $b$.

1. Если $|-a| < |-b|$, то есть $a < b$, то $-a > -b$.
2. Если $|-a| > |-b|$, то есть $a > b$, то $-a < -b$.

Например, сравним числа $-7.5$ и $-7.4$.
- Найдем их модули: $|-7.5| = 7.5$ и $|-7.4| = 7.4$.
- Сравним модули: $7.5 > 7.4$.
- Так как модуль числа $-7.5$ больше, само число $-7.5$ меньше. Следовательно, $-7.5 < -7.4$.

Геометрически на числовой оси больше то число, которое расположено правее. Число $-7.4$ находится правее числа $-7.5$, поэтому $-7.4 > -7.5$.

Ответ: из двух отрицательных действительных чисел больше то, у которого модуль (абсолютная величина) меньше.