Номер 123, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.3. Сравнение действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 123, страница 33.

Условие.

123. Пусть $|a| = |b|$. В каком случае $a \ne b$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

По определению, модуль числа (абсолютная величина) — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Запись $|a| = |b|$ означает, что числа a и b находятся на одинаковом расстоянии от нуля.

Рассмотрим, какие это могут быть числа.

Равенство $|a| = |b|$ выполняется в двух основных случаях:

1. Числа a и b равны между собой. Например, если $a = 5$ и $b = 5$, то $|5| = |5|$. Если $a = -3$ и $b = -3$, то $|-3| = |-3|$. В этом случае выполняется равенство $a = b$.
2. Числа a и b являются противоположными. Противоположные числа — это числа, которые равны по модулю, но имеют разные знаки. Это можно записать как $a = -b$. Например, если $a = 7$, а $b = -7$, то их модули равны: $|7| = |-7|$, что верно ($7=7$). При этом сами числа не равны: $7 \neq -7$.

Задача спрашивает, в каком случае $a \neq b$.

Из двух рассмотренных выше вариантов, первый случай ($a=b$) не соответствует условию $a \neq b$. Следовательно, нас интересует второй случай.

Таким образом, условие $a \neq b$ при $|a| = |b|$ выполняется, когда числа a и b являются противоположными, то есть $a = -b$.

Необходимо сделать одно важное уточнение. Может ли при условии $a = -b$ оказаться, что $a = b$? Да, это возможно, если $a = 0$. В этом случае $b = -0 = 0$, и мы получаем $a = b = 0$. Этот единственный случай, когда противоположные числа равны друг другу, не удовлетворяет требованию $a \neq b$.

Следовательно, для того чтобы при $|a| = |b|$ выполнялось неравенство $a \neq b$, числа a и b должны быть противоположными и не равными нулю. Другими словами, они должны иметь разные знаки, но одинаковую абсолютную величину, отличную от нуля.

Ответ: Неравенство $a \neq b$ при условии $|a| = |b|$ выполняется в том случае, когда числа a и b являются противоположными, то есть $a = -b$, и при этом они не равны нулю ($a \neq 0$ и, соответственно, $b \neq 0$).