Номер 129, страница 34 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.3. Сравнение действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 129, страница 34.

Условие.

129. а) $5$ и $5,(1)$;

б) $0,(23)$ и $0,234$;

в) $1,2456$ и $1,24563$;

г) $1,2456$ и $1,(3)$;

д) $0,545454$ и $0,(54)$;

е) $0,(4)$ и $0,(45)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Сравним числа 5 и 5,(1).
Число 5 является целым. Его можно представить в виде десятичной дроби с нулевой дробной частью: 5,0.
Число 5,(1) — это периодическая десятичная дробь, которая представляет собой 5,111...
Для сравнения этих чисел начнем с целых частей. Они равны: $5 = 5$.
Теперь сравним дробные части. Первая цифра после запятой у числа 5,0 равна 0, а у числа 5,111... равна 1.
Поскольку $0 < 1$, то $5,0 < 5,111...$.
Следовательно, $5 < 5,(1)$.
Ответ: $5 < 5,(1)$.

б) Сравним числа 0,(23) и 0,234.
Число 0,(23) — это периодическая десятичная дробь, которую можно записать как 0,232323...
Число 0,234 — это конечная десятичная дробь. Для сравнения можно представить его с нулями в конце: 0,234000...
Сравним эти числа поразрядно:
- Целые части равны: $0 = 0$.
- Цифры в разряде десятых равны: $2 = 2$.
- Цифры в разряде сотых равны: $3 = 3$.
- Цифра в разряде тысячных у числа 0,2323... равна 2, а у числа 0,2340... равна 4.
Так как $2 < 4$, то $0,2323... < 0,234$.
Ответ: $0,(23) < 0,234$.

в) Сравним числа 1,2456 и 1,24563.
Оба числа являются конечными десятичными дробями. Чтобы сравнить их, мы можем дополнить первое число нулем справа, чтобы количество знаков после запятой стало одинаковым: 1,24560.
Теперь сравним 1,24560 и 1,24563.
Первые четыре цифры после запятой у них совпадают.
Пятая цифра после запятой у первого числа — 0, а у второго — 3.
Так как $0 < 3$, то $1,24560 < 1,24563$.
Ответ: $1,2456 < 1,24563$.

г) Сравним числа 1,2456 и 1,(3).
Число 1,2456 — это конечная десятичная дробь.
Число 1,(3) — это периодическая десятичная дробь, равная 1,333...
Сравним эти числа поразрядно:
- Целые части равны: $1 = 1$.
- Цифра в разряде десятых у числа 1,2456 равна 2, а у числа 1,333... равна 3.
Так как $2 < 3$, то $1,2456 < 1,333...$.
Ответ: $1,2456 < 1,(3)$.

д) Сравним числа 0,545454 и 0,(54).
Число 0,(54) — это периодическая десятичная дробь, равная 0,54545454...
Число 0,545454 — это конечная десятичная дробь. Мы можем записать её как 0,545454000...
Сравним эти числа поразрядно. Первые шесть цифр после запятой (545454) у обоих чисел совпадают.
Седьмая цифра после запятой у числа 0,545454000... равна 0, а у числа 0,54545454... равна 5.
Поскольку $0 < 5$, то $0,545454 < 0,54545454...$.
Ответ: $0,545454 < 0,(54)$.

е) Сравним числа 0,(4) и 0,(45).
Число 0,(4) — это периодическая десятичная дробь, равная 0,4444...
Число 0,(45) — это периодическая десятичная дробь, равная 0,4545...
Сравним эти числа поразрядно:
- Целые части равны: $0 = 0$.
- Цифры в разряде десятых равны: $4 = 4$.
- Цифра в разряде сотых у числа 0,4444... равна 4, а у числа 0,4545... равна 5.
Так как $4 < 5$, то $0,4444... < 0,4545...$.
Ответ: $0,(4) < 0,(45)$.