Номер 125, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.3. Сравнение действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 125, страница 33.

Условие.

125. Может ли число быть:

а) больше своей абсолютной величины;

б) равным своей абсолютной величине;

в) меньше своей абсолютной величины?

Если да, то приведите примеры.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) больше своей абсолютной величины;

Абсолютная величина (модуль) числа $x$, обозначаемая как $|x|$, по определению всегда является неотрицательной, то есть $|x| \ge 0$. Проверим, может ли выполняться неравенство $x > |x|$.

Рассмотрим два возможных случая для числа $x$.

1. Если число $x$ неотрицательное ($x \ge 0$), то его абсолютная величина равна самому числу: $|x| = x$. В этом случае неравенство $x > |x|$ превращается в $x > x$, что является ложным утверждением для любого числа.

2. Если число $x$ отрицательное ($x < 0$), то само число $x$ отрицательно, а его абсолютная величина $|x|$ положительна. Любое отрицательное число всегда меньше любого положительного, поэтому неравенство $x > |x|$ в этом случае также ложно.

Таким образом, не существует числа, которое было бы больше своей абсолютной величины.

Ответ: нет, не может.

б) равным своей абсолютной величине;

Проверим, может ли выполняться равенство $x = |x|$.

1. Если число $x$ неотрицательное ($x \ge 0$), то по определению абсолютной величины $|x| = x$. В этом случае равенство $x = |x|$ является истинным.

2. Если число $x$ отрицательное ($x < 0$), то его абсолютная величина равна противоположному числу: $|x| = -x$. Равенство $x = |x|$ превращается в $x = -x$, что верно только при $x=0$. Однако это противоречит нашему допущению, что $x < 0$.

Следовательно, любое неотрицательное число (то есть положительное число или ноль) равно своей абсолютной величине.

Примеры: $5 = |5|$, $0 = |0|$, $42.1 = |42.1|$.

Ответ: да, может. Любое неотрицательное число.

в) меньше своей абсолютной величины?

Проверим, может ли выполняться неравенство $x < |x|$.

1. Если число $x$ неотрицательное ($x \ge 0$), то $|x| = x$. Неравенство $x < |x|$ превращается в $x < x$, что является ложным.

2. Если число $x$ отрицательное ($x < 0$), то $|x| = -x$. В этом случае $-x$ будет положительным числом. Неравенство $x < |x|$ превращается в $x < -x$. Поскольку любое отрицательное число меньше любого положительного, это неравенство всегда будет истинным.

Следовательно, любое отрицательное число меньше своей абсолютной величины.

Примеры: $-1 < |-1|$, так как $-1 < 1$. $-15 < |-15|$, так как $-15 < 15$.

Ответ: да, может. Любое отрицательное число.