Номер 127, страница 33 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 3.3. Сравнение действительных чисел. Параграф 3. Действительные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 127, страница 33.

Условие.

127. Покажите справедливость двойного неравенства:

а) $0,75757 < 0,(75) < 0,75758$

б) $3,023023 < 3,(023) < 3,023024$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы доказать справедливость двойного неравенства $0,75757 < 0,(75) < 0,75758$, нужно сравнить периодическую дробь $0,(75)$ с конечными десятичными дробями слева и справа.

Запишем периодическую дробь $0,(75)$ в развернутом виде: $0,(75) = 0,757575...$

1. Сравним левую часть неравенства: $0,75757$ и $0,(75) = 0,757575...$
Первые пять цифр после запятой ($7,5,7,5,7$) у этих чисел совпадают. Сравним шестые цифры после запятой. У числа $0,75757$ (которое можно записать как $0,757570...$) шестая цифра равна $0$. У числа $0,757575...$ шестая цифра равна $5$. Поскольку $0 < 5$, то неравенство $0,75757 < 0,(75)$ верно.

2. Сравним правую часть неравенства: $0,(75)$ и $0,75758$.
Первые четыре цифры после запятой ($7,5,7,5$) у этих чисел совпадают. Сравним пятые цифры после запятой. У числа $0,757575...$ пятая цифра равна $7$. У числа $0,75758$ пятая цифра равна $8$. Поскольку $7 < 8$, то неравенство $0,(75) < 0,75758$ верно.

Так как обе части двойного неравенства верны, то и все двойное неравенство справедливо.

Ответ: Неравенство справедливо, так как $0,(75) = 0,757575...$, что больше $0,75757$ (различие в 6-м знаке после запятой: $5 > 0$) и меньше $0,75758$ (различие в 5-м знаке после запятой: $7 < 8$).

б) Чтобы доказать справедливость двойного неравенства $3,023023 < 3,(023) < 3,023024$, нужно сравнить периодическую дробь $3,(023)$ с конечными десятичными дробями слева и справа.

Запишем периодическую дробь $3,(023)$ в развернутом виде: $3,(023) = 3,023023023...$

1. Сравним левую часть неравенства: $3,023023$ и $3,(023) = 3,023023023...$
Первые шесть цифр после запятой ($0,2,3,0,2,3$) у этих чисел совпадают. Сравним следующие цифры. У числа $3,023023$ (которое можно записать как $3,02302300...$) восьмая цифра после запятой равна $0$. У числа $3,023023023...$ восьмая цифра равна $2$. Поскольку $0 < 2$, то неравенство $3,023023 < 3,(023)$ верно.

2. Сравним правую часть неравенства: $3,(023)$ и $3,023024$.
Первые пять цифр после запятой ($0,2,3,0,2$) у этих чисел совпадают. Сравним шестые цифры после запятой. У числа $3,023023023...$ шестая цифра равна $3$. У числа $3,023024$ шестая цифра равна $4$. Поскольку $3 < 4$, то неравенство $3,(023) < 3,023024$ верно.

Так как обе части двойного неравенства верны, то и все двойное неравенство справедливо.

Ответ: Неравенство справедливо, так как $3,(023) = 3,023023023...$, что больше $3,023023$ (различие в 8-м знаке после запятой: $2 > 0$) и меньше $3,023024$ (различие в 6-м знаке после запятой: $3 < 4$).