Страница 32 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

117. a) Любое ли иррациональное число является действительным числом?

б) Каждое ли действительное число является иррациональным числом?

в) Известно, что $ \pi $ — число иррациональное и что $ \pi \approx 3,14 $. Являются ли действительными числа $ \pi $ и 3,14?

г) Существует ли рациональное число, разлагающееся в бесконечную непериодическую дробь?

а) Множество действительных чисел ($ \mathbb{R} $) по определению является объединением множества рациональных чисел ($ \mathbb{Q} $) и множества иррациональных чисел ($ \mathbb{I} $). Это означает, что любое иррациональное число является подмножеством действительных чисел, а значит, является действительным числом.
Ответ: Да, любое иррациональное число является действительным.

б) Нет, это утверждение неверно. Множество действительных чисел состоит не только из иррациональных, но и из рациональных чисел. Например, число 7 является действительным числом, но оно рациональное (так как $7 = \frac{7}{1}$), а не иррациональное. Таким образом, существуют действительные числа, которые не являются иррациональными.
Ответ: Нет, не каждое действительное число является иррациональным.

в) Да, оба числа являются действительными. Число $ \pi $ является иррациональным, а как установлено в пункте а), все иррациональные числа — действительные. Число 3,14 является конечной десятичной дробью, которую можно представить в виде обыкновенной дроби $ \frac{314}{100} $. Любое число, представимое в виде дроби, является рациональным. Все рациональные числа также являются действительными. Следовательно, и $ \pi $, и 3,14 — действительные числа.
Ответ: Да, являются.

г) По определению, любое рациональное число может быть представлено в виде десятичной дроби, которая будет либо конечной, либо бесконечной, но обязательно периодической. Бесконечная непериодическая десятичная дробь — это и есть определение иррационального числа. Таким образом, не существует рационального числа, которое разлагается в бесконечную непериодическую дробь, так как это противоречит определению рационального числа.
Ответ: Нет, не существует.

118. a) В каком случае верно равенство:

$|a|=a$; $|a|=-a$?

б) Найдите абсолютную величину (модуль) числа:

-2(3); -0,5777...; -12,0(12); 3,17(2); -0,(0).

в) Назовите число, противоположное числу:

2,5(3); -1,(72); -0,12(37).

а)

Равенство $|a| = a$ верно по определению модуля для любого неотрицательного числа. Неотрицательные числа — это положительные числа и ноль. Таким образом, это равенство выполняется при условии, что $a \ge 0$.
Например, если $a = 5$, то $|5| = 5$. Если $a = 0$, то $|0| = 0$. Если же $a = -5$, то $|-5| = 5$, а $a = -5$, поэтому равенство неверно.

Равенство $|a| = -a$ верно по определению модуля для любого неположительного числа. Неположительные числа — это отрицательные числа и ноль. Таким образом, это равенство выполняется при условии, что $a \le 0$.
Например, если $a = -5$, то $|-5| = 5$ и $-a = -(-5) = 5$, равенство верно. Если $a = 0$, то $|0| = 0$ и $-a = -0 = 0$, равенство верно. Если же $a = 5$, то $|5| = 5$, а $-a = -5$, поэтому равенство неверно.

Ответ: Равенство $|a| = a$ верно при $a \ge 0$. Равенство $|a| = -a$ верно при $a \le 0$.

б)

Абсолютная величина (модуль) числа — это его значение без учета знака. Модуль любого числа является неотрицательной величиной.
$|-2(3)| = |-2,333...| = 2,333... = 2(3)$
$|-0,5777...| = 0,5777...$
$|-12,0(12)| = |-12,01212...| = 12,01212... = 12,0(12)$
$|3,17(2)| = 3,17(2)$ (так как число уже положительное)
$|-0,(0)| = |-0| = 0$

Ответ: $2(3)$; $0,5777...$; $12,0(12)$; $3,17(2)$; $0$.

в)

Противоположным для числа $a$ является число $-a$. Чтобы найти число, противоположное данному, нужно изменить его знак на обратный.
Противоположное числу $2,5(3)$ это $-2,5(3)$.
Противоположное числу $-1,(72)$ это $-(-1,(72)) = 1,(72)$.
Противоположное числу $-0,12(37)$ это $-(-0,12(37)) = 0,12(37)$.

Ответ: $-2,5(3)$; $1,(72)$; $0,12(37)$.