Страница 30 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

106. Запишите три положительные бесконечные непериодические дроби. Как называют определяемые ими числа?

Запишите три положительные бесконечные непериодические дроби

Бесконечная непериодическая дробь — это десятичное представление числа, у которого последовательность цифр после запятой бесконечна и не имеет повторяющегося блока (периода). Приведем три примера таких положительных дробей:

1. Число $\pi$ (пи), равное отношению длины окружности к ее диаметру. Его десятичное представление бесконечно и непериодично: $3.1415926535...$

2. Квадратный корень из двух, $ \sqrt{2} $. Это число, которое при умножении само на себя дает в результате 2. Его десятичное представление также является бесконечной непериодической дробью: $1.4142135623...$

3. Можно сконструировать такую дробь самостоятельно, задав непериодическую последовательность цифр. Например, дробь, в которой количество нулей между единицами каждый раз увеличивается на один: $0.101001000100001...$

Ответ: $3.14159...$; $1.41421...$; $0.101001...$

Как называют определяемые ими числа?

Числа, которые представляются в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, нельзя выразить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. Такие числа называют иррациональными.

Ответ: Иррациональные числа.

107. Запишите три отрицательных иррациональных числа.

Чтобы выполнить это задание, нужно понимать, что такое иррациональные и отрицательные числа.

Иррациональное число — это действительное число, которое невозможно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Десятичное представление иррационального числа является бесконечной непериодической дробью.

Отрицательное число — это число, которое меньше нуля.

Для того чтобы получить отрицательное иррациональное число, достаточно взять любое известное положительное иррациональное число и приписать к нему спереди знак «минус». Существует бесконечное множество таких чисел. Приведём три примера.

Пример 1.
Возьмём число $\sqrt{2}$. Это иррациональное число, так как 2 не является полным квадратом целого числа. Его приблизительное значение $1,41421...$. Добавив знак минус, получаем отрицательное иррациональное число $-\sqrt{2}$.

Пример 2.
Возьмём число $\pi$ (пи) — математическую константу. Это трансцендентное, а значит и иррациональное число. Его приблизительное значение $3,14159...$. Соответственно, $-\pi$ — это отрицательное иррациональное число.

Пример 3.
Возьмём число $\sqrt{5}$. Оно иррационально, так как 5 не является полным квадратом. Его приблизительное значение $2,23606...$. Добавив знак минус, получаем отрицательное иррациональное число $-\sqrt{5}$.

Можно выбрать и любые другие подобные числа, например: $-\sqrt{3}$, $-\sqrt{7}$, $-e$, $-2\pi$ и так далее.

Ответ: $-\sqrt{2}$, $-\pi$, $-\sqrt{5}$.

108. Какие из данных чисел являются рациональными, какие — иррациональными:

a) $0.275$; $0.\overline{2}$; $1.\overline{32}$;

б) $2.7\overline{1828}$; $3.01234567891011...$; $1.15\overline{45}$?

Для того чтобы определить, какие из чисел являются рациональными, а какие — иррациональными, вспомним их определения. Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Десятичное представление рационального числа всегда либо конечное, либо бесконечное периодическое. Иррациональное число, наоборот, нельзя представить в виде такой дроби, и его десятичное представление является бесконечным и непериодическим.

Рассмотрим числа из этого пункта:

• Число 0,275 является конечной десятичной дробью. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Например, $0,275 = \frac{275}{1000} = \frac{11}{40}$. Следовательно, это рациональное число.

• Число 0,(2) — это запись бесконечной периодической дроби $0,2222...$. Любая периодическая дробь является рациональным числом. Это число можно представить в виде дроби $\frac{2}{9}$. Следовательно, это рациональное число.

• Число 1,323232... — это также бесконечная периодическая дробь, которую можно записать как $1,(32)$. Периодом является группа цифр "32". Так как дробь периодическая, она является рациональным числом. Её можно представить в виде дроби $\frac{131}{99}$.

Ответ: все числа 0,275; 0,(2) и 1,323232... являются рациональными.

Рассмотрим числа из этого пункта:

• Число 2,7(1828) является смешанной периодической десятичной дробью. У нее есть непериодическая часть (7) и период (1828). Все периодические дроби являются рациональными числами.

• Число 3,01234567891011... является бесконечной десятичной дробью. Последовательность цифр после запятой образована последовательной записью натуральных чисел (0, 1, 2, 3, ...). В этой последовательности нет и не может быть повторяющегося блока цифр (периода), так как за любым достаточно длинным набором цифр всегда будет следовать новый, не встречавшийся ранее. Следовательно, это иррациональное число.

• Число 1,15(45) (вопросительный знак в задании, скорее всего, является частью пунктуации вопроса, а не относится к числу) является смешанной периодической десятичной дробью с непериодической частью (15) и периодом (45). Следовательно, это рациональное число.

Ответ: числа 2,7(1828) и 1,15(45) являются рациональными, а число 3,01234567891011... — иррациональным.

109. Запишите четыре числа, являющиеся элементами множества:

а) натуральных чисел;

б) положительных чисел;

в) отрицательных чисел;

г) целых чисел;

д) рациональных чисел;

е) иррациональных чисел;

ж) чётных чисел;

з) простых чисел;

и) нечётных чисел;

к) чисел, больших 3;

л) составных чисел;

м) чисел, кратных 3.

а) натуральных чисел;

Натуральные числа — это числа, которые используются при счёте предметов. Это целые положительные числа (1, 2, 3, ...). Выберем любые четыре таких числа.

Ответ: 5, 12, 99, 1024.

б) положительных чисел;

Положительные числа — это любые числа, которые больше нуля. Они могут быть целыми, дробными или иррациональными. Например, $0.5$, $1$, $\sqrt{2}$.

Ответ: 1, 0.75, 42, $\pi$.

в) отрицательных чисел;

Отрицательные числа — это любые числа, которые меньше нуля. Они также могут быть целыми, дробными или иррациональными. Например, $-2$, $-1/3$, $-\sqrt{5}$.

Ответ: -3, -15.2, $-5/8$, $-\pi$.

г) целых чисел;

Целые числа (множество $Z$) включают в себя натуральные числа (1, 2, 3, ...), противоположные им числа (-1, -2, -3, ...) и ноль.

Ответ: -10, -2, 0, 17.

д) рациональных чисел;

Рациональные числа — это числа, которые можно представить в виде дроби $m/n$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное. К ним относятся целые числа, конечные десятичные дроби и бесконечные периодические дроби.

Ответ: 8, -1.5, $3/4$, $-22/7$.

е) иррациональных чисел;

Иррациональные числа — это действительные числа, которые не являются рациональными. Их нельзя представить в виде дроби $m/n$. Примеры: корень из числа, которое не является полным квадратом, или число $\pi$.

Ответ: $\sqrt{2}$, $\sqrt{10}$, $\pi$, $e$.

ж) чётных чисел;

Чётные числа — это целые числа, которые делятся на 2 без остатка. Формула чётного числа: $2k$, где $k$ — любое целое число. Ноль также является чётным числом.

Ответ: -4, 0, 16, 100.

з) простых чисел;

Простое число — это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Число 1 не является простым.

Ответ: 2, 3, 7, 19.

и) нечётных чисел;

Нечётные числа — это целые числа, которые не делятся на 2 без остатка. Формула нечётного числа: $2k+1$, где $k$ — любое целое число.

Ответ: -13, 1, 9, 51.

к) чисел, больших 3;

Это любые числа, значение которых строго больше 3. Они могут быть целыми, рациональными или иррациональными.

Ответ: 3.1, 5, 100.5, $4\pi$.

л) составных чисел;

Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым, то есть имеет другие делители, кроме 1 и самого себя. Первое составное число — 4.

Ответ: 4, 6, 9, 21.

м) чисел, кратных 3.

Числа, кратные 3 — это целые числа, которые делятся на 3 без остатка. Они могут быть как положительными, так и отрицательными. Ноль также кратен 3.

Ответ: -6, 0, 9, 300.

110. Запишите два числа, одновременно являющиеся:

а) рациональными и отрицательными;

б) целыми и кратными 5;

в) целыми и положительными;

г) простыми и большими 50.

а) рациональными и отрицательными

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число, а знаменатель $n$ — натуральное число. Отрицательное число — это число, которое меньше нуля.

Чтобы число было одновременно рациональным и отрицательным, оно должно быть меньше нуля и представимо в виде дроби. Примерами таких чисел могут служить любые отрицательные целые числа, отрицательные обыкновенные дроби или отрицательные конечные и периодические десятичные дроби.

Пример 1: $-15$. Это число отрицательное. Оно является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $\frac{-15}{1}$.

Пример 2: $-3.5$. Это число отрицательное. Оно является рациональным, так как его можно записать в виде дроби $-\frac{35}{10}$ или, после сокращения, $-\frac{7}{2}$.

Ответ: $-15$ и $-3.5$. (Также подходят, например: $-1$; $-\frac{2}{3}$; $-100.1$)

б) целыми и кратными 5

Целое число — это число без дробной части (например, ..., $-3$, $-2$, $-1$, $0$, $1$, $2$, $3$, ...). Число является кратным 5, если оно делится на 5 нацело (без остатка). Формально, число $k$ кратно 5, если существует такое целое число $n$, что $k = 5 \cdot n$.

Следовательно, нам нужно найти два целых числа, которые делятся на 5.

Пример 1: $20$. Это целое число. Оно кратно 5, так как $20 \div 5 = 4$, то есть $20 = 5 \cdot 4$.

Пример 2: $-45$. Это целое число. Оно кратно 5, так как $-45 \div 5 = -9$, то есть $-45 = 5 \cdot (-9)$.

Ответ: $20$ и $-45$. (Также подходят, например: $0$; $5$; $-100$)

в) целыми и положительными

Целое число — это число без дробной части. Положительное число — это число, которое больше нуля. Целые положительные числа также называют натуральными числами. Это числа, которые мы используем для счета: $1, 2, 3, 4, ...$

Необходимо выбрать любые два числа из этого множества.

Пример 1: $7$. Это целое и положительное число.

Пример 2: $148$. Это целое и положительное число.

Ответ: $7$ и $148$. (Также подходят любые другие натуральные числа, например: $1$; $50$; $2023$)

г) простыми и большими 50

Простое число — это натуральное число больше $1$, которое имеет ровно два различных натуральных делителя: единицу и самого себя. Нам нужно найти два таких числа, которые больше $50$.

Для этого будем последовательно проверять числа больше 50 на простоту:

• $51$: делится на 3 (так как сумма цифр $5+1=6$ делится на 3), $51 = 3 \cdot 17$. Не является простым.
• $52$: четное, делится на 2. Не является простым.
• $53$: не делится на 2, 3, 5. Проверим делимость на 7: $53$ не делится на $7$ ($7 \cdot 7 = 49$). Следующий простой делитель для проверки — 11, но $11^2 = 121 > 53$, поэтому дальнейшие проверки не нужны. Значит, 53 — простое число.
• $54, 55, 56, 57, 58$ — составные числа (делятся на 2, 5, 2, 3, 2 соответственно).
• $59$: не делится на 2, 3, 5. Проверим делимость на 7: $59$ не делится на $7$ ($7 \cdot 8 = 56$). Следующий простой делитель 11, но $11^2 = 121 > 59$. Значит, 59 — простое число.

Мы нашли два простых числа, которые больше 50.

Ответ: $53$ и $59$. (Также подходят, например: $61$; $67$; $71$)