Страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

97. a) Может ли сумма (произведение) двух целых чисел быть рациональным (но не целым) числом?

б) Может ли сумма (произведение) двух рациональных чисел быть целым числом?

а) Нет, ни сумма, ни произведение двух целых чисел не могут быть рациональным числом, которое не является целым.

Рассмотрим два любых целых числа $a$ и $b$.

• Сумма. Множество целых чисел $Z$ замкнуто относительно операции сложения. Это означает, что сумма двух целых чисел ($a+b$) всегда будет целым числом. По определению, целое число не может быть "рациональным, но не целым".

• Произведение. Аналогично, множество целых чисел замкнуто относительно операции умножения. Это означает, что произведение двух целых чисел ($a \cdot b$) также всегда будет целым числом.

Поскольку результат в обоих случаях всегда является целым числом, он не может быть рациональным, но не целым числом.

Ответ: Нет, не может.

б) Да, и сумма, и произведение двух рациональных чисел могут быть целым числом.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Целые числа также являются рациональными (например, $5 = \frac{5}{1}$), но для демонстрации можно использовать и дробные числа.

• Сумма. Возьмем два рациональных числа, которые не являются целыми: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$. Их сумма — целое число:

  $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

  Другой пример: $2.5 + (-0.5) = 2$.

• Произведение. Возьмем два рациональных числа, которые не являются целыми: $\frac{3}{4}$ и $\frac{8}{3}$. Их произведение — целое число:

  $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{24}{12} = 2$

  Другой пример: $0.5 \cdot 4 = 2$.

Ответ: Да, может.

98. Сравните числа:

а) $\frac{3}{8}$ и $-\frac{5}{9}$;

б) $-\frac{3}{5}$ и $-\frac{4}{5}$;

в) $-\frac{3}{7}$ и $0$;

г) $\frac{8}{9}$ и $0$;

д) $-\frac{5}{28}$ и $-\frac{1}{7}$;

е) $-\frac{13}{24}$ и $-\frac{17}{26}$;

ж) $-\frac{98}{97}$ и $-\frac{99}{98}$;

з) $-\frac{97}{98}$ и $-\frac{98}{99}$;

и) $-\frac{1}{3}$ и $\frac{-1}{3}$;

к) $\frac{2}{7}$ и $\frac{-2}{-7}$;

л) $-\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{-5}$;

м) $\frac{3}{4}$ и $-\frac{3}{4}$.

а) Сравним числа $\frac{3}{8}$ и $-\frac{5}{9}$. Число $\frac{3}{8}$ является положительным, а число $-\frac{5}{9}$ — отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Следовательно, $\frac{3}{8} > -\frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{3}{8} > -\frac{5}{9}$

б) Сравним числа $-\frac{3}{5}$ и $-\frac{4}{5}$. Оба числа отрицательные. Чтобы сравнить два отрицательных числа, нужно сравнить их модули. Большим будет то число, модуль которого меньше. Модули наших чисел: $|\ -\frac{3}{5}\ | = \frac{3}{5}$ и $|\ -\frac{4}{5}\ | = \frac{4}{5}$. Так как знаменатели дробей одинаковы, сравниваем числители: $3 < 4$, следовательно, $\frac{3}{5} < \frac{4}{5}$. Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный. Таким образом, $-\frac{3}{5} > -\frac{4}{5}$.

Ответ: $-\frac{3}{5} > -\frac{4}{5}$

в) Сравним числа $-\frac{3}{7}$ и $0$. Число $-\frac{3}{7}$ является отрицательным. Любое отрицательное число меньше нуля. Следовательно, $-\frac{3}{7} < 0$.

Ответ: $-\frac{3}{7} < 0$

г) Сравним числа $\frac{8}{9}$ и $0$. Число $\frac{8}{9}$ является положительным. Любое положительное число больше нуля. Следовательно, $\frac{8}{9} > 0$.

Ответ: $\frac{8}{9} > 0$

д) Сравним числа $-\frac{5}{28}$ и $-\frac{1}{7}$. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 28 и 7 это 28. Вторая дробь: $-\frac{1}{7} = -\frac{1 \cdot 4}{7 \cdot 4} = -\frac{4}{28}$. Теперь сравним дроби $-\frac{5}{28}$ и $-\frac{4}{28}$. Сравним их модули: $\frac{5}{28}$ и $\frac{4}{28}$. Так как $5 > 4$, то $\frac{5}{28} > \frac{4}{28}$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный, поэтому $-\frac{5}{28} < -\frac{4}{28}$. Следовательно, $-\frac{5}{28} < -\frac{1}{7}$.

Ответ: $-\frac{5}{28} < -\frac{1}{7}$

е) Сравним числа $-\frac{13}{24}$ и $-\frac{17}{26}$. Оба числа отрицательные. Чтобы сравнить дроби, можно использовать перекрестное умножение. Сравним произведения числителя первой дроби на знаменатель второй и числителя второй на знаменатель первой: $-13 \cdot 26$ и $-17 \cdot 24$.
$-13 \cdot 26 = -338$
$-17 \cdot 24 = -408$
Так как $-338 > -408$, то и исходные дроби соотносятся так же. Следовательно, $-\frac{13}{24} > -\frac{17}{26}$.

Ответ: $-\frac{13}{24} > -\frac{17}{26}$

ж) Сравним числа $-\frac{98}{97}$ и $-\frac{99}{98}$. Представим дроби в виде смешанных чисел: $-\frac{98}{97} = -1\frac{1}{97}$ и $-\frac{99}{98} = -1\frac{1}{98}$. Целые части у чисел одинаковы, поэтому сравним их дробные части: $-\frac{1}{97}$ и $-\frac{1}{98}$. Сначала сравним их модули: $\frac{1}{97}$ и $\frac{1}{98}$. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Значит, $\frac{1}{97} > \frac{1}{98}$. Для отрицательных чисел знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{1}{97} < -\frac{1}{98}$. Следовательно, $-1\frac{1}{97} < -1\frac{1}{98}$, а значит $-\frac{98}{97} < -\frac{99}{98}$.

Ответ: $-\frac{98}{97} < -\frac{99}{98}$

з) Сравним числа $-\frac{97}{98}$ и $-\frac{98}{99}$. Оба числа отрицательные. Сравним их модули: $\frac{97}{98}$ и $\frac{98}{99}$. Представим их как разность с единицей: $\frac{97}{98} = 1 - \frac{1}{98}$ и $\frac{98}{99} = 1 - \frac{1}{99}$. Сравним вычитаемые дроби $\frac{1}{98}$ и $\frac{1}{99}$. Так как $98 < 99$, то $\frac{1}{98} > \frac{1}{99}$. Мы вычитаем большее число из единицы в первом случае, значит, результат будет меньше: $1 - \frac{1}{98} < 1 - \frac{1}{99}$. Итак, $\frac{97}{98} < \frac{98}{99}$. Поскольку мы сравниваем отрицательные числа, знак неравенства меняется на противоположный: $-\frac{97}{98} > -\frac{98}{99}$.

Ответ: $-\frac{97}{98} > -\frac{98}{99}$

и) Сравним числа $-\frac{1}{3}$ и $\frac{-1}{3}$. Дробь $\frac{-1}{3}$ означает деление отрицательного числа $-1$ на положительное число $3$. Результат будет отрицательным и равен $-\frac{1}{3}$. Таким образом, эти два числа равны.

Ответ: $-\frac{1}{3} = \frac{-1}{3}$

к) Сравним числа $\frac{2}{7}$ и $\frac{-2}{-7}$. Дробь $\frac{-2}{-7}$ означает деление отрицательного числа $-2$ на отрицательное число $-7$. Результат деления двух отрицательных чисел является положительным числом, поэтому $\frac{-2}{-7} = \frac{2}{7}$. Таким образом, эти два числа равны.

Ответ: $\frac{2}{7} = \frac{-2}{-7}$

л) Сравним числа $-\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{-5}$. Дробь $\frac{1}{-5}$ означает деление положительного числа $1$ на отрицательное число $-5$. Результат будет отрицательным и равен $-\frac{1}{5}$. Таким образом, эти два числа равны.

Ответ: $-\frac{1}{5} = \frac{1}{-5}$

м) Сравним числа $\frac{3}{4}$ и $-\frac{3}{4}$. Число $\frac{3}{4}$ является положительным, а число $-\frac{3}{4}$ — отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Следовательно, $\frac{3}{4} > -\frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4} > -\frac{3}{4}$

Выполните действия (99–100):

99. а) $-\frac{12}{25} + \frac{3}{50}$;

б) $-\frac{11}{48} + \left(-\frac{3}{16}\right)$;

в) $-\frac{5}{27} - \left(-\frac{5}{18}\right)$;

г) $-\frac{3}{7} \cdot \frac{8}{9}$;

д) $\frac{24}{25} : \frac{4}{5}$;

е) $\frac{71}{78} + \frac{17}{91}$;

ж) $\frac{50}{49} - \frac{15}{56}$;

з) $-\frac{2}{5} \cdot \left(-32\frac{1}{2}\right)$;

и) $-\frac{32}{77} : \frac{64}{55}$.

а) Чтобы сложить дроби $-\frac{12}{25}$ и $\frac{3}{50}$, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 25 и 50 это 50. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:

$-\frac{12}{25} + \frac{3}{50} = -\frac{12 \cdot 2}{25 \cdot 2} + \frac{3}{50} = -\frac{24}{50} + \frac{3}{50}$

Теперь сложим числители, а знаменатель оставим прежним:

$-\frac{24}{50} + \frac{3}{50} = \frac{-24 + 3}{50} = \frac{-21}{50} = -\frac{21}{50}$

Ответ: $-\frac{21}{50}$

б) Сложение дроби с отрицательной дробью равносильно вычитанию:

$-\frac{11}{48} + (-\frac{3}{16}) = -\frac{11}{48} - \frac{3}{16}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 48 и 16 это 48. Домножим вторую дробь на 3:

$-\frac{11}{48} - \frac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} = -\frac{11}{48} - \frac{9}{48}$

Выполним вычитание:

$\frac{-11 - 9}{48} = \frac{-20}{48}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 4:

$-\frac{20}{48} = -\frac{20:4}{48:4} = -\frac{5}{12}$

Ответ: $-\frac{5}{12}$

в) Вычитание отрицательной дроби равносильно сложению:

$-\frac{5}{27} - (-\frac{5}{18}) = -\frac{5}{27} + \frac{5}{18}$

Найдем наименьший общий знаменатель для 27 и 18. Разложим их на простые множители: $27 = 3^3$, $18 = 2 \cdot 3^2$. НОК(27, 18) = $2 \cdot 3^3 = 54$.

Приведем дроби к знаменателю 54:

$-\frac{5 \cdot 2}{27 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{18 \cdot 3} = -\frac{10}{54} + \frac{15}{54}$

Сложим числители:

$\frac{-10 + 15}{54} = \frac{5}{54}$

Ответ: $\frac{5}{54}$

г) Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Произведение отрицательного и положительного числа отрицательно.

$-\frac{3}{7} \cdot \frac{8}{9} = -\frac{3 \cdot 8}{7 \cdot 9}$

Перед умножением сократим дробь. Числитель и знаменатель имеют общий множитель 3:

$-\frac{\cancel{3}^1 \cdot 8}{7 \cdot \cancel{9}^3} = -\frac{1 \cdot 8}{7 \cdot 3} = -\frac{8}{21}$

Ответ: $-\frac{8}{21}$

д) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{24}{25} : \frac{4}{5} = \frac{24}{25} \cdot \frac{5}{4}$

Сократим общие множители перед умножением. 24 и 4 делятся на 4, а 25 и 5 делятся на 5:

$\frac{\cancel{24}^6}{\cancel{25}^5} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{\cancel{4}^1} = \frac{6 \cdot 1}{5 \cdot 1} = \frac{6}{5}$

Можно представить ответ в виде смешанного числа: $1\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{6}{5}$

е) Для сложения дробей $\frac{71}{78}$ и $\frac{17}{91}$ найдем их наименьший общий знаменатель. Разложим знаменатели на простые множители: $78 = 2 \cdot 3 \cdot 13$, $91 = 7 \cdot 13$.

НОК(78, 91) = $2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 13 = 546$.

Приведем дроби к знаменателю 546:

$\frac{71 \cdot 7}{78 \cdot 7} + \frac{17 \cdot 6}{91 \cdot 6} = \frac{497}{546} + \frac{102}{546}$

Сложим числители:

$\frac{497 + 102}{546} = \frac{599}{546}$

Дробь несократимая. Преобразуем ее в смешанное число:

$\frac{599}{546} = 1\frac{53}{546}$

Ответ: $1\frac{53}{546}$

ж) Для умножения дробей $\frac{50}{49}$ и $\frac{15}{56}$ перемножим их числители и знаменатели:

$\frac{50}{49} \cdot \frac{15}{56} = \frac{50 \cdot 15}{49 \cdot 56}$

Сократим общие множители. 50 и 56 имеют общий множитель 2:

$\frac{\cancel{50}^{25} \cdot 15}{49 \cdot \cancel{56}^{28}} = \frac{25 \cdot 15}{49 \cdot 28}$

Больше общих множителей для сокращения нет. Выполним умножение:

$\frac{25 \cdot 15}{49 \cdot 28} = \frac{375}{1372}$

Ответ: $\frac{375}{1372}$

з) Произведение двух отрицательных чисел положительно. Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$-32\frac{1}{2} = -(\frac{32 \cdot 2 + 1}{2}) = -\frac{65}{2}$

Теперь выполним умножение:

$-\frac{2}{5} \cdot (-\frac{65}{2}) = \frac{2}{5} \cdot \frac{65}{2}$

Сократим общие множители (2 и 2, 5 и 65):

$\frac{\cancel{2}^1}{\cancel{5}^1} \cdot \frac{\cancel{65}^{13}}{\cancel{2}^1} = \frac{1 \cdot 13}{1 \cdot 1} = 13$

Ответ: $13$

и) При делении отрицательного числа на положительное результат будет отрицательным. Чтобы разделить дробь на дробь, нужно первую дробь умножить на обратную ко второй:

$-\frac{32}{77} : \frac{64}{55} = -\frac{32}{77} \cdot \frac{55}{64}$

Сократим общие множители. 32 и 64 делятся на 32; 77 и 55 делятся на 11:

$-\frac{\cancel{32}^1}{\cancel{77}^7} \cdot \frac{\cancel{55}^5}{\cancel{64}^2} = -\frac{1 \cdot 5}{7 \cdot 2} = -\frac{5}{14}$

Ответ: $-\frac{5}{14}$

100. a) $$-3.28 + 1.75;$$

б) $$-4.8 + (-0.48);$$

в) $$3.17 - (-0.63);$$

г) $$-0.48 \cdot (-0.55);$$

д) $$-0.35 : 0.2;$$

е) $$-0.35 : 0.03;$$

ж) $$0.25 \cdot (-0.32);$$

з) $$-4.6 - 3.2.$$

а) -3,28 + 1,75

Чтобы сложить два числа с разными знаками, нужно из модуля большего числа вычесть модуль меньшего и перед результатом поставить знак числа с большим модулем. В данном случае модуль числа $-3,28$ больше модуля числа $1,75$, поэтому результат будет отрицательным.

Вычисляем разность модулей: $3,28 - 1,75 = 1,53$.

Следовательно, $-3,28 + 1,75 = -1,53$.

Ответ: $-1,53$

б) -4,8 + (-0,48)

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед результатом поставить знак минус.

Выражение можно переписать как $-4,8 - 0,48$.

Складываем модули: $4,8 + 0,48 = 5,28$.

Следовательно, $-4,8 + (-0,48) = -5,28$.

Ответ: $-5,28$

в) 3,17 - (-0,63)

Вычитание отрицательного числа равносильно прибавлению положительного числа (противоположного вычитаемому).

$3,17 - (-0,63) = 3,17 + 0,63$.

Складываем числа: $3,17 + 0,63 = 3,8$.

Ответ: $3,8$

г) -0,48 · (-0,55)

Произведение двух отрицательных чисел является положительным числом. Чтобы найти результат, нужно перемножить их модули.

$-0,48 \cdot (-0,55) = 0,48 \cdot 0,55$.

Выполняем умножение: $0,48 \cdot 0,55 = 0,264$.

Ответ: $0,264$

д) -0,35 : 0,2

При делении отрицательного числа на положительное получается отрицательное число. Чтобы найти результат, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя и поставить перед результатом знак минус.

Делим модули: $0,35 : 0,2$. Для удобства можно домножить делимое и делитель на 10, чтобы делитель стал целым числом: $3,5 : 2 = 1,75$.

Следовательно, $-0,35 : 0,2 = -1,75$.

Ответ: $-1,75$

е) -0,35 : 0,03

При делении отрицательного числа на положительное получается отрицательное число. Делим модули: $0,35 : 0,03$.

Так как при делении получается бесконечная десятичная дробь, представим исходные числа в виде обыкновенных дробей: $0,35 = \frac{35}{100}$ и $0,03 = \frac{3}{100}$.

$-0,35 : 0,03 = -\frac{35}{100} : \frac{3}{100} = -\frac{35}{100} \cdot \frac{100}{3} = -\frac{35 \cdot 100}{100 \cdot 3} = -\frac{35}{3}$.

Выделим целую часть: $-\frac{35}{3} = -11 \frac{2}{3}$.

Ответ: $-11 \frac{2}{3}$

ж) 0,25 · (-0,32)

Произведение положительного и отрицательного чисел является отрицательным числом. Чтобы найти результат, нужно перемножить их модули и поставить перед результатом знак минус.

Перемножаем модули: $0,25 \cdot 0,32$. Удобно представить $0,25$ как $\frac{1}{4}$: $\frac{1}{4} \cdot 0,32 = 0,08$.

Следовательно, $0,25 \cdot (-0,32) = -0,08$.

Ответ: $-0,08$

з) -4,6 - 3,2

Данное выражение можно рассматривать как сложение двух отрицательных чисел: $-4,6 + (-3,2)$.

Чтобы сложить два отрицательных числа, нужно сложить их модули и перед результатом поставить знак минус.

Складываем модули: $4,6 + 3,2 = 7,8$.

Следовательно, $-4,6 - 3,2 = -7,8$.

Ответ: $-7,8$

101. а) Любое ли рациональное число может быть разложено в периодическую дробь?

б) Любая ли периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа?

а) Да, любое рациональное число может быть представлено в виде периодической десятичной дроби.
Рациональное число по определению — это число, которое можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, мы делим числитель $p$ на знаменатель $q$ "в столбик".
При делении на $q$ возможные остатки — это целые числа от $0$ до $q-1$. Всего $q$ возможных остатков.
Рассмотрим два случая:
1. На каком-то шаге деления остаток становится равен нулю. В этом случае деление заканчивается, и мы получаем конечную десятичную дробь. Любую конечную десятичную дробь можно считать периодической с периодом 0. Например, $1/4 = 0.25 = 0.25000... = 0.25(0)$.
2. Остаток никогда не становится равен нулю. Поскольку количество возможных ненулевых остатков конечно и равно $q-1$ (это числа $1, 2, ..., q-1$), то по принципу Дирихле, не более чем через $q$ шагов деления какой-то из остатков обязательно повторится. Как только остаток повторяется, последовательность цифр в частном также начинает повторяться. Это означает, что десятичное разложение является бесконечной периодической дробью. Например, $1/7 = 0.142857142857... = 0.(142857)$.
Таким образом, в любом случае десятичное разложение рационального числа является периодической дробью.
Ответ: Да, любое.

б) Да, любая периодическая дробь является десятичным разложением некоторого рационального числа.
Любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби $p/q$ с помощью алгебраических преобразований. Рассмотрим два вида периодических дробей:
1. Чистая периодическая дробь. Это дробь, у которой период начинается сразу после запятой, например, $x = 0.(a_1a_2...a_k)$. Здесь $k$ — количество цифр в периоде.
Умножим это число на $10^k$: $10^k x = a_1a_2...a_k.(a_1a_2...a_k)$.
Теперь вычтем из второго равенства первое:
$10^k x - x = (a_1a_2...a_k.(a_1a_2...a_k)) - (0.(a_1a_2...a_k))$
$x(10^k - 1) = A$, где $A$ — целое число, образованное цифрами периода $a_1a_2...a_k$.
Отсюда $x = \frac{A}{10^k - 1}$. Это представление в виде обыкновенной дроби, то есть $x$ — рациональное число.
Например, для $x = 0.(12)$: $100x = 12.(12)$, $100x - x = 12$, $99x = 12$, $x = 12/99 = 4/33$.
2. Смешанная периодическая дробь. Это дробь, у которой между запятой и периодом есть одна или несколько цифр, например, $y = 0.b_1...b_m(a_1...a_k)$.
Сначала умножим число на $10^m$, чтобы "подвинуть" запятую к началу периода:
$10^m y = b_1...b_m.(a_1...a_k)$.
Обозначим $z = 10^m y$. Число $z$ можно представить как сумму целой части $B$ и чистой периодической дроби $0.(A)$: $z = B + 0.(A)$, где $B = b_1...b_m$ и $A = a_1...a_k$.
Как мы показали в первом пункте, $0.(A) = \frac{A}{10^k - 1}$.
Тогда $z = B + \frac{A}{10^k - 1} = \frac{B(10^k - 1) + A}{10^k - 1}$. Это рациональное число.
Поскольку $y = \frac{z}{10^m}$, то $y = \frac{B(10^k - 1) + A}{10^m(10^k - 1)}$. Это также дробь, где числитель и знаменатель — целые числа, следовательно, $y$ — рациональное число.
Например, для $y = 0.58(3)$: $100y = 58.(3)$. $1000y = 583.(3)$.
$1000y - 100y = 583.(3) - 58.(3) = 525$.
$900y = 525 \Rightarrow y = \frac{525}{900} = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$.
Таким образом, любая периодическая дробь является рациональным числом.
Ответ: Да, любая.

102. Запишите пять отрицательных периодических дробей.

Отрицательная периодическая дробь — это отрицательное рациональное число, десятичная запись которого содержит бесконечно повторяющуюся группу цифр, называемую периодом. Такие дроби получаются при делении числителя обыкновенной дроби на знаменатель, если в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители присутствуют числа, отличные от 2 и 5. Ниже представлены пять примеров таких дробей с подробным объяснением.

1. Рассмотрим простую обыкновенную дробь $-\frac{1}{3}$. Чтобы представить ее в виде десятичной, необходимо разделить числитель на знаменатель. При делении 1 на 3 столбиком получается бесконечное повторение цифры 3. Период (повторяющаяся часть) записывается в круглых скобках.
$-\frac{1}{3} = -(1 \div 3) = -0.333...$
Ответ: $-0.(3)$

2. Возьмем дробь $-\frac{4}{11}$. При делении 4 на 11 мы получаем бесконечно повторяющуюся группу из двух цифр: 36.
$-\frac{4}{11} = -(4 \div 11) = -0.363636...$
Ответ: $-0.(36)$

3. Теперь рассмотрим пример смешанной периодической дроби $-\frac{7}{12}$. В такой дроби период начинается не сразу после запятой. Разделим 7 на 12.
$-\frac{7}{12} = -(7 \div 12) = -0.58333...$
Здесь после цифр 5 и 8 начинается бесконечное повторение цифры 3.
Ответ: $-0.58(3)$

4. Можно взять неправильную дробь, например $-\frac{16}{7}$. Сначала выделим целую часть: $-\frac{16}{7} = -2\frac{2}{7}$. Теперь преобразуем дробную часть $\frac{2}{7}$ в десятичную. При делении 2 на 7 получается длинный период из шести цифр.
$\frac{2}{7} = 2 \div 7 = 0.285714285714...$
Следовательно, исходное число равно $-2$ целых и $.(285714)$ в периоде.
Ответ: $-2.(285714)$

5. Еще один пример с другим знаменателем, например, $-\frac{1}{6}$. Разделим 1 на 6.
$-\frac{1}{6} = -(1 \div 6) = -0.1666...$
Это также смешанная периодическая дробь, где после цифры 1 следует бесконечно повторяющаяся цифра 6.
Ответ: $-0.1(6)$

Запишите рациональные числа в виде периодических дробей (103–104):

103. а) $-\frac{3}{7}$; б) $\frac{9}{16}$; в) $-\frac{511}{90}$; г) $\frac{17}{99}$.

а) Чтобы представить рациональное число $-\frac{3}{7}$ в виде периодической дроби, необходимо выполнить деление числителя 3 на знаменатель 7. Результат деления будет отрицательным.

Выполним деление столбиком $3 \div 7$:

$3 \div 7 = 0$ (остаток 3)
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2)
$20 \div 7 = 2$ (остаток 6)
$60 \div 7 = 8$ (остаток 4)
$40 \div 7 = 5$ (остаток 5)
$50 \div 7 = 7$ (остаток 1)
$10 \div 7 = 1$ (остаток 3)

Остаток 3 повторился, следовательно, последовательность цифр после запятой $428571$ будет бесконечно повторяться. Эта последовательность является периодом дроби. Таким образом, $\frac{3}{7} = 0.(428571)$. Учитывая знак минус, получаем:

Ответ: $-0.(428571)$

б) Чтобы представить дробь $\frac{9}{16}$ в виде периодической, разделим числитель 9 на знаменатель 16.

Выполним деление столбиком $9 \div 16$:

$90 \div 16 = 5$ (остаток 10)
$100 \div 16 = 6$ (остаток 4)
$40 \div 16 = 2$ (остаток 8)
$80 \div 16 = 5$ (остаток 0)

Деление завершилось без остатка, мы получили конечную десятичную дробь $0.5625$. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде периодической, дописав в качестве периода ноль.

Ответ: $0.5625(0)$

в) Чтобы представить число $-\frac{511}{90}$ в виде периодической дроби, разделим 511 на 90. Результат будет отрицательным.

Сначала выделим целую часть: $511 \div 90 = 5$ и $61$ в остатке. Таким образом, $-\frac{511}{90} = -5\frac{61}{90}$.

Теперь преобразуем дробную часть $\frac{61}{90}$ в десятичную дробь, деля 61 на 90:

$610 \div 90 = 6$ (остаток 70)
$700 \div 90 = 7$ (остаток 70)

Остаток 70 начал повторяться, значит, цифра 7 будет в периоде. Цифра 6, стоящая после запятой, в период не входит. Получаем смешанную периодическую дробь. Итак, $\frac{511}{90} = 5.6777... = 5.6(7)$. Учитывая знак минус, получаем:

Ответ: $-5.6(7)$

г) Чтобы представить дробь $\frac{17}{99}$ в виде периодической, разделим числитель 17 на знаменатель 99.

Выполним деление столбиком $17 \div 99$:

$170 \div 99 = 1$ (остаток 71)
$710 \div 99 = 7$ (остаток 17)

Остаток 17 совпал с исходным числителем, следовательно, группа цифр $17$ будет повторяться. Таким образом, мы получаем чистую периодическую дробь.

Также можно воспользоваться правилом: если знаменатель дроби равен 99, то ее десятичное представление является чистой периодической дробью, период которой равен числителю, записанному двумя цифрами (при необходимости с нулем впереди). В нашем случае числитель 17, значит $\frac{17}{99} = 0.(17)$.

Ответ: $0.(17)$

104. а) $-\frac{1}{2}$; $0$; $-1,24$;

б) $\frac{1}{3}$; $-\frac{4}{7}$; $-2\frac{5}{13}$;

в) $2\frac{24}{33}$; $-\frac{120}{210}$; $\frac{57}{16}$;

г) $-\frac{21}{90}$; $1\frac{16}{90}$; $-3\frac{4}{7}$.

По определению, рациональным числом называется любое число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число ($p \in \mathbb{Z}$), а $q$ — натуральное число ($q \in \mathbb{N}$). Проверим каждое число из задания.

а)

- Число $-\frac{1}{2}$ уже является дробью, где $p=-1$ (целое) и $q=2$ (натуральное). Следовательно, это рациональное число.

- Число $0$ можно представить в виде дроби, например, $\frac{0}{1}$, где $p=0$ (целое) и $q=1$ (натуральное). Следовательно, это рациональное число.

- Число $-1,24$ — это конечная десятичная дробь. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной: $-1,24 = -\frac{124}{100}$. Здесь $p=-124$ (целое) и $q=100$ (натуральное). Следовательно, это рациональное число.

Таким образом, все числа в этой группе являются рациональными.

Ответ: все числа $-\frac{1}{2}$, $0$, $-1,24$ являются рациональными.

б)

- Числа $\frac{1}{3}$ и $\frac{4}{7}$ уже представлены в виде обыкновенных дробей, где числители и знаменатели — целые числа, а знаменатели не равны нулю. Они являются рациональными.

- Число $-2\frac{5}{13}$ — это смешанное число. Чтобы проверить, является ли оно рациональным, представим его в виде неправильной дроби: $-2\frac{5}{13} = -\frac{2 \cdot 13 + 5}{13} = -\frac{31}{13}$. Это дробь, где $p=-31$ (целое) и $q=13$ (натуральное). Следовательно, это рациональное число.

Таким образом, все числа в этой группе являются рациональными.

Ответ: все числа $\frac{1}{3}$, $\frac{4}{7}$, $-2\frac{5}{13}$ являются рациональными.

в)

- Число $2\frac{24}{33}$ — смешанное число. Представим его в виде неправильной дроби: $2\frac{24}{33} = \frac{2 \cdot 33 + 24}{33} = \frac{66+24}{33} = \frac{90}{33}$. Это рациональное число.

- Число $-\frac{120}{210}$ уже представлено в виде дроби, где числитель — целое число, а знаменатель — натуральное. Это рациональное число.

- Число $\frac{57}{16}$ также уже представлено в виде дроби, где числитель и знаменатель — натуральные числа. Это рациональное число.

Таким образом, все числа в этой группе являются рациональными.

Ответ: все числа $2\frac{24}{33}$, $-\frac{120}{210}$, $\frac{57}{16}$ являются рациональными.

г)

- Число $-\frac{21}{90}$ — это обыкновенная дробь, где $p=-21$ и $q=90$. Это рациональное число.

- Число $1\frac{16}{90}$ — смешанное число. Представим его в виде неправильной дроби: $1\frac{16}{90} = \frac{1 \cdot 90 + 16}{90} = \frac{106}{90}$. Это рациональное число.

- Число $-3\frac{4}{7}$ — смешанное число. Представим его в виде неправильной дроби: $-3\frac{4}{7} = -\frac{3 \cdot 7 + 4}{7} = -\frac{25}{7}$. Это рациональное число.

Таким образом, все числа в этой группе являются рациональными.

Ответ: все числа $-\frac{21}{90}$, $1\frac{16}{90}$, $-3\frac{4}{7}$ являются рациональными.

105. Запишите в виде рационального числа периодическую дробь:

а) $ -0,\overline{3} $;

б) $ -1,\overline{2} $;

в) $ -2,\overline{5} $;

г) $ -0,\overline{17} $;

д) $ -3,\overline{18} $;

е) $ -1,\overline{05} $;

ж) $ 2,\overline{0} $;

з) $ -0,\overline{0} $;

и) $ 4,37\overline{0} $.

а) Чтобы перевести чисто периодическую дробь $-0,(3)$ в рациональное число, обозначим ее за $x$.
Пусть $x = -0,(3) = -0,333...$
Поскольку в периоде одна цифра, умножим обе части уравнения на 10:
$10x = -3,333...$
Теперь вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = (-3,333...) - (-0,333...)$
$9x = -3$
Отсюда находим $x$:
$x = -\frac{3}{9} = -\frac{1}{3}$
Ответ: $-\frac{1}{3}$

б) Обозначим $x = -1,(2) = -1,222...$.
В периоде одна цифра, поэтому умножим на 10:
$10x = -12,222...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = (-12,222...) - (-1,222...)$
$9x = -11$
$x = -\frac{11}{9}$
Ответ: $-\frac{11}{9}$

в) Обозначим $x = -2,(5) = -2,555...$.
Умножим на 10, так как в периоде одна цифра:
$10x = -25,555...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$10x - x = (-25,555...) - (-2,555...)$
$9x = -23$
$x = -\frac{23}{9}$
Ответ: $-\frac{23}{9}$

г) Обозначим $x = -0,(17) = -0,171717...$.
В периоде две цифры, поэтому умножим на 100:
$100x = -17,171717...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = (-17,1717...) - (-0,1717...)$
$99x = -17$
$x = -\frac{17}{99}$
Ответ: $-\frac{17}{99}$

д) Обозначим $x = -3,(18) = -3,181818...$.
В периоде две цифры, умножим на 100:
$100x = -318,181818...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = (-318,1818...) - (-3,1818...)$
$99x = -315$
$x = -\frac{315}{99}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 9:
$x = -\frac{315 \div 9}{99 \div 9} = -\frac{35}{11}$
Ответ: $-\frac{35}{11}$

е) Обозначим $x = -1,(05) = -1,050505...$.
В периоде две цифры, умножим на 100:
$100x = -105,050505...$
Вычтем из второго уравнения первое:
$100x - x = (-105,0505...) - (-1,0505...)$
$99x = -104$
$x = -\frac{104}{99}$
Ответ: $-\frac{104}{99}$

ж) Периодическая дробь $2,(0)$ представляет собой число $2,000...$, что равно целому числу 2.
Чтобы записать его в виде рационального числа, можно представить его как дробь со знаменателем 1.
$2 = \frac{2}{1}$
Ответ: $2$

з) Периодическая дробь $-0,(0)$ представляет собой число $-0,000...$, что равно нулю.
В виде рационального числа ноль можно записать как $\frac{0}{1}$.
Ответ: $0$

и) Дробь $4,37(0)$ является смешанной периодической дробью, которая фактически является конечной десятичной дробью, так как период равен нулю: $4,37(0) = 4,37000... = 4,37$.
Чтобы представить конечную десятичную дробь в виде рационального числа, запишем ее в виде обыкновенной дроби:
$4,37 = \frac{437}{100}$
Ответ: $\frac{437}{100}$