Номер 101, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.5. Десятичное разложение рациональных чисел. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 101, страница 28.

Условие.

101. а) Любое ли рациональное число может быть разложено в периодическую дробь?

б) Любая ли периодическая дробь есть десятичное разложение некоторого рационального числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Да, любое рациональное число может быть представлено в виде периодической десятичной дроби.
Рациональное число по определению — это число, которое можно представить в виде дроби $p/q$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную, мы делим числитель $p$ на знаменатель $q$ "в столбик".
При делении на $q$ возможные остатки — это целые числа от $0$ до $q-1$. Всего $q$ возможных остатков.
Рассмотрим два случая:
1. На каком-то шаге деления остаток становится равен нулю. В этом случае деление заканчивается, и мы получаем конечную десятичную дробь. Любую конечную десятичную дробь можно считать периодической с периодом 0. Например, $1/4 = 0.25 = 0.25000... = 0.25(0)$.
2. Остаток никогда не становится равен нулю. Поскольку количество возможных ненулевых остатков конечно и равно $q-1$ (это числа $1, 2, ..., q-1$), то по принципу Дирихле, не более чем через $q$ шагов деления какой-то из остатков обязательно повторится. Как только остаток повторяется, последовательность цифр в частном также начинает повторяться. Это означает, что десятичное разложение является бесконечной периодической дробью. Например, $1/7 = 0.142857142857... = 0.(142857)$.
Таким образом, в любом случае десятичное разложение рационального числа является периодической дробью.
Ответ: Да, любое.

б) Да, любая периодическая дробь является десятичным разложением некоторого рационального числа.
Любую периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби $p/q$ с помощью алгебраических преобразований. Рассмотрим два вида периодических дробей:
1. Чистая периодическая дробь. Это дробь, у которой период начинается сразу после запятой, например, $x = 0.(a_1a_2...a_k)$. Здесь $k$ — количество цифр в периоде.
Умножим это число на $10^k$: $10^k x = a_1a_2...a_k.(a_1a_2...a_k)$.
Теперь вычтем из второго равенства первое:
$10^k x - x = (a_1a_2...a_k.(a_1a_2...a_k)) - (0.(a_1a_2...a_k))$
$x(10^k - 1) = A$, где $A$ — целое число, образованное цифрами периода $a_1a_2...a_k$.
Отсюда $x = \frac{A}{10^k - 1}$. Это представление в виде обыкновенной дроби, то есть $x$ — рациональное число.
Например, для $x = 0.(12)$: $100x = 12.(12)$, $100x - x = 12$, $99x = 12$, $x = 12/99 = 4/33$.
2. Смешанная периодическая дробь. Это дробь, у которой между запятой и периодом есть одна или несколько цифр, например, $y = 0.b_1...b_m(a_1...a_k)$.
Сначала умножим число на $10^m$, чтобы "подвинуть" запятую к началу периода:
$10^m y = b_1...b_m.(a_1...a_k)$.
Обозначим $z = 10^m y$. Число $z$ можно представить как сумму целой части $B$ и чистой периодической дроби $0.(A)$: $z = B + 0.(A)$, где $B = b_1...b_m$ и $A = a_1...a_k$.
Как мы показали в первом пункте, $0.(A) = \frac{A}{10^k - 1}$.
Тогда $z = B + \frac{A}{10^k - 1} = \frac{B(10^k - 1) + A}{10^k - 1}$. Это рациональное число.
Поскольку $y = \frac{z}{10^m}$, то $y = \frac{B(10^k - 1) + A}{10^m(10^k - 1)}$. Это также дробь, где числитель и знаменатель — целые числа, следовательно, $y$ — рациональное число.
Например, для $y = 0.58(3)$: $100y = 58.(3)$. $1000y = 583.(3)$.
$1000y - 100y = 583.(3) - 58.(3) = 525$.
$900y = 525 \Rightarrow y = \frac{525}{900} = \frac{21}{36} = \frac{7}{12}$.
Таким образом, любая периодическая дробь является рациональным числом.
Ответ: Да, любая.