Номер 103, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.5. Десятичное разложение рациональных чисел. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 103, страница 28.

Условие.

Запишите рациональные числа в виде периодических дробей (103–104):

103. а) $-\frac{3}{7}$; б) $\frac{9}{16}$; в) $-\frac{511}{90}$; г) $\frac{17}{99}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы представить рациональное число $-\frac{3}{7}$ в виде периодической дроби, необходимо выполнить деление числителя 3 на знаменатель 7. Результат деления будет отрицательным.

Выполним деление столбиком $3 \div 7$:

$3 \div 7 = 0$ (остаток 3)
$30 \div 7 = 4$ (остаток 2)
$20 \div 7 = 2$ (остаток 6)
$60 \div 7 = 8$ (остаток 4)
$40 \div 7 = 5$ (остаток 5)
$50 \div 7 = 7$ (остаток 1)
$10 \div 7 = 1$ (остаток 3)

Остаток 3 повторился, следовательно, последовательность цифр после запятой $428571$ будет бесконечно повторяться. Эта последовательность является периодом дроби. Таким образом, $\frac{3}{7} = 0.(428571)$. Учитывая знак минус, получаем:

Ответ: $-0.(428571)$

б) Чтобы представить дробь $\frac{9}{16}$ в виде периодической, разделим числитель 9 на знаменатель 16.

Выполним деление столбиком $9 \div 16$:

$90 \div 16 = 5$ (остаток 10)
$100 \div 16 = 6$ (остаток 4)
$40 \div 16 = 2$ (остаток 8)
$80 \div 16 = 5$ (остаток 0)

Деление завершилось без остатка, мы получили конечную десятичную дробь $0.5625$. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде периодической, дописав в качестве периода ноль.

Ответ: $0.5625(0)$

в) Чтобы представить число $-\frac{511}{90}$ в виде периодической дроби, разделим 511 на 90. Результат будет отрицательным.

Сначала выделим целую часть: $511 \div 90 = 5$ и $61$ в остатке. Таким образом, $-\frac{511}{90} = -5\frac{61}{90}$.

Теперь преобразуем дробную часть $\frac{61}{90}$ в десятичную дробь, деля 61 на 90:

$610 \div 90 = 6$ (остаток 70)
$700 \div 90 = 7$ (остаток 70)

Остаток 70 начал повторяться, значит, цифра 7 будет в периоде. Цифра 6, стоящая после запятой, в период не входит. Получаем смешанную периодическую дробь. Итак, $\frac{511}{90} = 5.6777... = 5.6(7)$. Учитывая знак минус, получаем:

Ответ: $-5.6(7)$

г) Чтобы представить дробь $\frac{17}{99}$ в виде периодической, разделим числитель 17 на знаменатель 99.

Выполним деление столбиком $17 \div 99$:

$170 \div 99 = 1$ (остаток 71)
$710 \div 99 = 7$ (остаток 17)

Остаток 17 совпал с исходным числителем, следовательно, группа цифр $17$ будет повторяться. Таким образом, мы получаем чистую периодическую дробь.

Также можно воспользоваться правилом: если знаменатель дроби равен 99, то ее десятичное представление является чистой периодической дробью, период которой равен числителю, записанному двумя цифрами (при необходимости с нулем впереди). В нашем случае числитель 17, значит $\frac{17}{99} = 0.(17)$.

Ответ: $0.(17)$