Номер 97, страница 28 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.5. Десятичное разложение рациональных чисел. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 97, страница 28.

Условие.

97. a) Может ли сумма (произведение) двух целых чисел быть рациональным (но не целым) числом?

б) Может ли сумма (произведение) двух рациональных чисел быть целым числом?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Нет, ни сумма, ни произведение двух целых чисел не могут быть рациональным числом, которое не является целым.

Рассмотрим два любых целых числа $a$ и $b$.

• Сумма. Множество целых чисел $Z$ замкнуто относительно операции сложения. Это означает, что сумма двух целых чисел ($a+b$) всегда будет целым числом. По определению, целое число не может быть "рациональным, но не целым".

• Произведение. Аналогично, множество целых чисел замкнуто относительно операции умножения. Это означает, что произведение двух целых чисел ($a \cdot b$) также всегда будет целым числом.

Поскольку результат в обоих случаях всегда является целым числом, он не может быть рациональным, но не целым числом.

Ответ: Нет, не может.

б) Да, и сумма, и произведение двух рациональных чисел могут быть целым числом.

Рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Целые числа также являются рациональными (например, $5 = \frac{5}{1}$), но для демонстрации можно использовать и дробные числа.

• Сумма. Возьмем два рациональных числа, которые не являются целыми: $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$. Их сумма — целое число:

  $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$

  Другой пример: $2.5 + (-0.5) = 2$.

• Произведение. Возьмем два рациональных числа, которые не являются целыми: $\frac{3}{4}$ и $\frac{8}{3}$. Их произведение — целое число:

  $\frac{3}{4} \cdot \frac{8}{3} = \frac{24}{12} = 2$

  Другой пример: $0.5 \cdot 4 = 2$.

Ответ: Да, может.