Номер 93, страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.4. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 93, страница 26.

Условие.

93. Запишите в виде периодической дроби:

а) $\frac{7}{40}$;

б) $19$;

в) $\frac{1}{7}$;

г) $\frac{3}{11}$;

д) $\frac{5}{9}$;

е) $\frac{17}{99}$;

ж) $\frac{8}{999}$;

з) $\frac{2007}{9999}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) Чтобы представить дробь $\frac{7}{40}$ в виде десятичной, разделим числитель на знаменатель. Это можно сделать, выполнив деление столбиком, или домножив числитель и знаменатель на такое число, чтобы в знаменателе получилось число вида $10^n$. В данном случае домножим на 25:
$\frac{7}{40} = \frac{7 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{175}{1000} = 0,175$.
Получилась конечная десятичная дробь. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной периодической дроби, дописав в периоде ноль.
Ответ: $0,175(0)$.

б) Целое число $19$ можно записать в виде десятичной дроби как $19,0$. Чтобы представить это число в виде периодической дроби, нужно добавить бесконечное количество нулей после запятой, что соответствует периоду, равному нулю.
$19 = 19,000... = 19,(0)$.
Ответ: $19,(0)$.

в) Чтобы перевести дробь $\frac{1}{7}$ в периодическую, выполним деление числителя на знаменатель столбиком.
$1 \div 7 = 0,142857142857...$
При делении остатки начинают циклически повторяться, что приводит к повторению группы цифр $142857$ в частном. Эта группа цифр и является периодом дроби.
Ответ: $0,(142857)$.

г) Для перевода дроби $\frac{3}{11}$ в периодическую, разделим $3$ на $11$.
$3 \div 11 = 0,272727...$
При делении мы получаем повторяющуюся группу цифр $27$. Таким образом, период дроби равен $27$.
Ответ: $0,(27)$.

д) Для дробей, у которых знаменатель равен 9, существует простое правило: такая дробь обращается в чистую периодическую дробь, где период равен числителю.
$5 \div 9 = 0,555... = 0,(5)$.
Ответ: $0,(5)$.

е) Аналогично предыдущему пункту, для дробей со знаменателем 99, 999 и т.д. существует правило. Для дроби $\frac{17}{99}$ период будет состоять из двух цифр и будет равен числителю.
$17 \div 99 = 0,171717... = 0,(17)$.
Ответ: $0,(17)$.

ж) Для дроби $\frac{8}{999}$ период будет состоять из трех цифр. Так как числитель 8 — однозначное число, мы представляем его как трехзначное, добавляя нули спереди: $008$.
$\frac{8}{999} = 0,008008008... = 0,(008)$.
Ответ: $0,(008)$.

з) Для дроби $\frac{2007}{9999}$ период будет состоять из четырех цифр и будет равен числителю $2007$.
$\frac{2007}{9999} = 0,20072007... = 0,(2007)$.
Ответ: $0,(2007)$.