Номер 86, страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.3. Периодические десятичные дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 86, страница 22.

Условие.

86. Подберите обыкновенную дробь, равную периодической дроби:

а) $0,\overline{8}$;

б) $0,\overline{4}$;

в) $0,\overline{13}$;

г) $0,\overline{37}$;

д) $0,\overline{27}$;

е) $0,\overline{125}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Чтобы преобразовать чистую периодическую дробь $0,(8)$ в обыкновенную, обозначим эту дробь через $x$.

$x = 0,(8) = 0,888...$

Поскольку в периоде одна цифра, умножим обе части этого равенства на 10:

$10x = 8,888...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от периодической части:

$10x - x = 8,888... - 0,888...$

$9x = 8$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$

б)

Обозначим дробь $0,(4)$ через $x$.

$x = 0,(4) = 0,444...$

В периоде одна цифра, поэтому умножаем на 10:

$10x = 4,444...$

Вычитаем исходное уравнение:

$10x - x = 4,444... - 0,444...$

$9x = 4$

$x = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

в)

Обозначим дробь $0,(13)$ через $x$.

$x = 0,(13) = 0,131313...$

Так как в периоде две цифры, умножим уравнение на $10^2 = 100$:

$100x = 13,131313...$

Вычитаем исходное уравнение:

$100x - x = 13,131313... - 0,131313...$

$99x = 13$

$x = \frac{13}{99}$

Ответ: $\frac{13}{99}$

г)

Обозначим дробь $0,(37)$ через $x$.

$x = 0,(37) = 0,373737...$

В периоде две цифры, поэтому умножаем на 100:

$100x = 37,373737...$

Вычитаем исходное уравнение:

$100x - x = 37,373737... - 0,373737...$

$99x = 37$

$x = \frac{37}{99}$

Ответ: $\frac{37}{99}$

д)

Обозначим дробь $0,(27)$ через $x$.

$x = 0,(27) = 0,272727...$

В периоде две цифры, умножаем на 100:

$100x = 27,272727...$

Вычитаем исходное уравнение:

$100x - x = 27,272727... - 0,272727...$

$99x = 27$

$x = \frac{27}{99}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 9.

$x = \frac{27 \div 9}{99 \div 9} = \frac{3}{11}$

Ответ: $\frac{3}{11}$

е)

Обозначим дробь $0,(125)$ через $x$.

$x = 0,(125) = 0,125125...$

Так как в периоде три цифры, умножим уравнение на $10^3 = 1000$:

$1000x = 125,125125...$

Вычитаем исходное уравнение:

$1000x - x = 125,125125... - 0,125125...$

$999x = 125$

$x = \frac{125}{999}$

Проверим, можно ли сократить дробь. Числитель $125 = 5^3$. Знаменатель $999 = 3^3 \times 37$. Общих простых делителей у числителя и знаменателя нет, следовательно, дробь несократима.

Ответ: $\frac{125}{999}$