Номер 79, страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.2. Разложение обыкновенной дроби в конечную десятичную дробь. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 79, страница 19.

Условие.

79. Возможно ли разложение данной дроби в конечную десятичную дробь:

a) $ \frac{1}{7} $;

б) $ \frac{6}{48} $;

в) $ \frac{7}{352} $;

г) $ \frac{12}{56} $;

д) $ \frac{120}{38} $;

е) $ \frac{12}{96} $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Для того чтобы обыкновенную дробь можно было представить в виде конечной десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель этой дроби, после её сокращения до несократимого вида, не содержал никаких других простых множителей, кроме 2 и 5. Проверим каждую из данных дробей, следуя этому правилу.

а) $\frac{1}{7}$

Данная дробь несократима. Знаменатель равен 7. Это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, разложение данной дроби в конечную десятичную дробь невозможно.

Ответ: Нет

б) $\frac{6}{48}$

Сначала сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 6: $\frac{6}{48} = \frac{6 \div 6}{48 \div 6} = \frac{1}{8}$.
Знаменатель полученной несократимой дроби равен 8. Разложим знаменатель на простые множители: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
Поскольку в разложении знаменателя присутствует только простой множитель 2, разложение дроби в конечную десятичную дробь возможно.

Ответ: Да

в) $\frac{7}{352}$

Проверим, является ли дробь сократимой. Числитель 7 — простое число. Проверим, делится ли знаменатель 352 на 7: $352 \div 7 \approx 50.28$. Деление не является целочисленным, значит дробь несократима.
Разложим знаменатель 352 на простые множители: $352 = 2 \cdot 176 = 2 \cdot 2 \cdot 88 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 44 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 = 2^5 \cdot 11$.
В разложении знаменателя присутствует простой множитель 11, который отличен от 2 и 5. Следовательно, разложение данной дроби в конечную десятичную дробь невозможно.

Ответ: Нет

г) $\frac{12}{56}$

Сначала сократим дробь. Наибольший общий делитель для 12 и 56 равен 4: $\frac{12}{56} = \frac{12 \div 4}{56 \div 4} = \frac{3}{14}$.
Знаменатель полученной несократимой дроби равен 14. Разложим знаменатель на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$.
В разложении знаменателя присутствует простой множитель 7, который отличен от 2 и 5. Следовательно, разложение данной дроби в конечную десятичную дробь невозможно.

Ответ: Нет

д) $\frac{120}{38}$

Сначала сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{120}{38} = \frac{120 \div 2}{38 \div 2} = \frac{60}{19}$.
Знаменатель полученной несократимой дроби равен 19. Это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, разложение данной дроби в конечную десятичную дробь невозможно.

Ответ: Нет

е) $\frac{12}{96}$

Сначала сократим дробь. Наибольший общий делитель для 12 и 96 равен 12: $\frac{12}{96} = \frac{12 \div 12}{96 \div 12} = \frac{1}{8}$.
Знаменатель полученной несократимой дроби равен 8. Разложим знаменатель на простые множители: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
Поскольку в разложении знаменателя присутствует только простой множитель 2, разложение дроби в конечную десятичную дробь возможно.

Ответ: Да