Номер 82, страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.3. Периодические десятичные дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 82, страница 22.

Условие.

82. Какие десятичные дроби могут получиться при делении уголком числителя обыкновенной дроби на знаменатель?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

При делении числителя обыкновенной дроби на знаменатель происходит преобразование обыкновенной дроби в десятичную. Обыкновенная дробь — это запись любого рационального числа в виде $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. В результате такого деления могут получиться десятичные дроби двух видов.

Конечные десятичные дроби

Этот вид дроби получается, когда процесс деления уголком завершается, то есть на одном из этапов в остатке получается ноль. В результате десятичная дробь имеет конечное число цифр после запятой.

Например, рассмотрим дробь $\frac{7}{20}$.

$7 \div 20 = 0$ с остатком $7$.
Сносим ноль, делим $70$ на $20$. Получаем $3$ с остатком $10$. Результат: $0,3...$
Сносим ноль, делим $100$ на $20$. Получаем $5$ с остатком $0$. Результат: $0,35$.
Деление завершено, так как остаток равен нулю.

Таким образом, $\frac{7}{20} = 0,35$.

Дробь можно представить в виде конечной десятичной, если знаменатель несократимой дроби при разложении на простые множители содержит только числа 2 и 5.

Бесконечные периодические десятичные дроби

Если в процессе деления остаток ни на одном из шагов не становится равным нулю, то деление продолжается бесконечно. При делении на знаменатель $q$ возможные ненулевые остатки — это натуральные числа от $1$ до $q-1$. Так как количество возможных остатков конечно, на каком-то шаге один из них обязательно повторится. С этого момента последовательность цифр в частном также начнет повторяться. Эта повторяющаяся группа цифр называется периодом дроби.

Например, рассмотрим дробь $\frac{2}{3}$.

$2 \div 3 = 0$ с остатком $2$.
Сносим ноль, делим $20$ на $3$. Получаем $6$ с остатком $2$. Результат: $0,6...$
Остаток $2$ повторился. Это означает, что цифра $6$ в частном будет повторяться бесконечно.

Таким образом, $\frac{2}{3} = 0,666... = 0,(6)$.

Бесконечная периодическая дробь получается в том случае, если в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители присутствует хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5.

Любая обыкновенная дробь является рациональным числом, а любое рациональное число представляется в виде либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дроби. Бесконечные непериодические дроби (например, $\pi \approx 3,1415926...$) являются иррациональными числами и не могут быть получены делением целого числа на натуральное.

Ответ: При делении уголком числителя обыкновенной дроби на знаменатель могут получиться только конечные десятичные дроби или бесконечные периодические десятичные дроби.