Номер 88, страница 25 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.4. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 88, страница 25.

Условие.

88. Какие обыкновенные дроби разлагаются в периодические дроби:

а) с периодом $0$;

б) с периодом, отличным от $0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а) с периодом 0;

Периодическая дробь с периодом 0 — это другое название для конечной десятичной дроби. Например, число $0,25$ можно записать как $0,25000...$ или $0,25(0)$.

Обыкновенная несократимая дробь вида $\frac{m}{n}$ может быть представлена в виде конечной десятичной дроби (а значит, и периодической с периодом 0) тогда и только тогда, когда в разложении ее знаменателя $n$ на простые множители не содержится никаких других чисел, кроме 2 и 5.

Таким образом, знаменатель $n$ должен иметь вид $n = 2^k \cdot 5^l$, где $k$ и $l$ являются целыми неотрицательными числами.

Примеры:

• $\frac{3}{4} = 0,75 = 0,75(0)$. Знаменатель $4 = 2^2$.
• $\frac{7}{20} = 0,35 = 0,35(0)$. Знаменатель $20 = 2^2 \cdot 5^1$.
• $\frac{11}{50} = 0,22 = 0,22(0)$. Знаменатель $50 = 2 \cdot 5^2$.

Ответ: В периодические дроби с периодом 0 разлагаются несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых при разложении на простые множители содержат только степени чисел 2 и 5.

б) с периодом, отличным от 0;

Периодическая дробь с периодом, отличным от 0, — это бесконечная десятичная дробь, у которой одна или несколько цифр после запятой повторяются в определенной последовательности. Например, $0,(3)$ или $0,1(6)$.

Обыкновенная несократимая дробь вида $\frac{m}{n}$ разлагается в бесконечную периодическую дробь (с периодом, отличным от 0) тогда и только тогда, когда в разложении ее знаменателя $n$ на простые множители содержится хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.

Примеры:

• $\frac{1}{3} = 0,(3)$. Знаменатель 3, который отличен от 2 и 5.
• $\frac{5}{6} = 0,8(3)$. Знаменатель $6 = 2 \cdot 3$. Присутствует множитель 3.
• $\frac{4}{7} = 0,(571428)$. Знаменатель 7, который отличен от 2 и 5.

Ответ: В периодические дроби с периодом, отличным от 0, разлагаются несократимые обыкновенные дроби, знаменатели которых при разложении на простые множители содержат хотя бы один простой множитель, не равный 2 или 5.