Номер 85, страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.3. Периодические десятичные дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 85, страница 22.

Условие.

85. Напишите периодические дроби, равные обыкновенным дробям:

а) $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{9}$, $\frac{12}{5}$, $12$;

б) $\frac{24}{30}$, $\frac{36}{48}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{45}{63}$;

в) $\frac{20}{41}$, $\frac{15}{37}$, $\frac{5}{21}$, $\frac{17}{42}$;

г) $\frac{8}{9}$, $\frac{7}{9}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{3}{9}$;

д) $\frac{13}{99}$, $\frac{25}{99}$, $\frac{71}{99}$, $\frac{42}{99}$;

е) $\frac{123}{999}$, $\frac{12}{999}$, $\frac{5}{999}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

а)

Для преобразования обыкновенной дроби в десятичную необходимо разделить числитель на знаменатель.

$\frac{1}{3}$: При делении 1 на 3 столбиком получается бесконечная десятичная дробь, в которой цифра 3 повторяется. Это чистая периодическая дробь. $1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$.

$\frac{2}{9}$: Существует правило, что дробь вида $\frac{a}{9}$ равна чистой периодической дроби $0,(a)$. $2 \div 9 = 0,222... = 0,(2)$.

$\frac{12}{5}$: При делении 12 на 5 получается конечная десятичная дробь. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде периодической, добавив в периоде ноль. $12 \div 5 = 2,4 = 2,4000... = 2,4(0)$.

$12$: Целое число также можно представить в виде периодической дроби с периодом ноль. $12 = 12,0 = 12,000... = 12,(0)$.

Ответ: $\frac{1}{3} = 0,(3)$; $\frac{2}{9} = 0,(2)$; $\frac{12}{5} = 2,4(0)$; $12 = 12,(0)$.

б)

$\frac{24}{30}$: Сначала сократим дробь: $\frac{24}{30} = \frac{4}{5}$. Теперь преобразуем в десятичную дробь. $4 \div 5 = 0,8$. Это конечная десятичная дробь, которую записываем как периодическую с периодом 0. $\frac{24}{30} = 0,8(0)$.

$\frac{36}{48}$: Сократим дробь: $\frac{36}{48} = \frac{3}{4}$. Преобразуем в десятичную. $3 \div 4 = 0,75$. Это конечная десятичная дробь. $\frac{36}{48} = 0,75(0)$.

$\frac{4}{7}$: Знаменатель 7 не содержит простых множителей 2 и 5, поэтому дробь будет чисто периодической. Выполним деление столбиком. $4 \div 7 = 0,571428571428... = 0,(571428)$. Период состоит из 6 цифр.

$\frac{45}{63}$: Сократим дробь: $\frac{45}{63} = \frac{5}{7}$. Выполним деление. $5 \div 7 = 0,714285714285... = 0,(714285)$. Период также состоит из 6 цифр.

Ответ: $\frac{24}{30} = 0,8(0)$; $\frac{36}{48} = 0,75(0)$; $\frac{4}{7} = 0,(571428)$; $\frac{45}{63} = 0,(714285)$.

в)

$\frac{20}{41}$: Знаменатель 41 - простое число, не 2 и не 5. Дробь будет чисто периодической. Деление столбиком дает: $20 \div 41 = 0,4878048780... = 0,(48780)$.

$\frac{15}{37}$: Знаменатель 37 - простое число. Дробь будет чисто периодической. $15 \div 37 = 0,405405... = 0,(405)$. Можно также заметить, что $37 \times 27 = 999$, поэтому $\frac{15}{37} = \frac{15 \times 27}{37 \times 27} = \frac{405}{999} = 0,(405)$.

$\frac{5}{21}$: Знаменатель $21=3 \times 7$. Дробь будет чисто периодической. $5 \div 21 = 0,238095238095... = 0,(238095)$.

$\frac{17}{42}$: Знаменатель $42 = 2 \times 3 \times 7$. Наличие множителя 2 означает, что дробь будет смешанной периодической (будет одна цифра после запятой до периода). $17 \div 42 = 0,4047619047619... = 0,4(047619)$.

Ответ: $\frac{20}{41} = 0,(48780)$; $\frac{15}{37} = 0,(405)$; $\frac{5}{21} = 0,(238095)$; $\frac{17}{42} = 0,4(047619)$.

г)

Для дробей со знаменателем 9 существует простое правило: $\frac{a}{9} = 0,(a)$, где $a$ - целое число от 1 до 8.

$\frac{8}{9} = 0,(8)$.

$\frac{7}{9} = 0,(7)$.

$\frac{5}{9} = 0,(5)$.

$\frac{3}{9}$: Сначала сократим дробь: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Как мы уже знаем из пункта а), $\frac{1}{3} = 0,(3)$. Либо по правилу: $\frac{3}{9} = 0,(3)$.

Ответ: $\frac{8}{9} = 0,(8)$; $\frac{7}{9} = 0,(7)$; $\frac{5}{9} = 0,(5)$; $\frac{3}{9} = 0,(3)$.

д)

Для дробей со знаменателем 99 существует правило: $\frac{ab}{99} = 0,(ab)$, где $ab$ - двузначное число (числитель).

$\frac{13}{99} = 0,(13)$.

$\frac{25}{99} = 0,(25)$.

$\frac{71}{99} = 0,(71)$.

$\frac{42}{99} = 0,(42)$. Можно также сократить дробь на 3: $\frac{42}{99} = \frac{14}{33}$. Деление $14 \div 33$ также дает $0,4242... = 0,(42)$.

Ответ: $\frac{13}{99} = 0,(13)$; $\frac{25}{99} = 0,(25)$; $\frac{71}{99} = 0,(71)$; $\frac{42}{99} = 0,(42)$.

е)

Для дробей со знаменателем 999 правило аналогично: $\frac{abc}{999} = 0,(abc)$, где $abc$ - числитель, который при необходимости дополняется ведущими нулями до трех знаков.

$\frac{123}{999} = 0,(123)$. Сокращение на 3 дает $\frac{41}{333}$, что также равно $0,(123)$.

$\frac{12}{999}$: Числитель 12 представляем как 012. $\frac{12}{999} = 0,(012)$.

$\frac{5}{999}$: Числитель 5 представляем как 005. $\frac{5}{999} = 0,(005)$.

Ответ: $\frac{123}{999} = 0,(123)$; $\frac{12}{999} = 0,(012)$; $\frac{5}{999} = 0,(005)$.