Номер 90, страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 2.4. Периодичность десятичного разложения обыкновенной дроби. Параграф 2. Рациональные числа. Глава 1. Действительные числа - номер 90, страница 26.

Условие.

90. Покажите на примере, как периодическую дробь с периодом 9 можно превратить в конечную десятичную дробь.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Чтобы показать, как периодическую дробь с периодом 9 можно превратить в конечную десятичную дробь, рассмотрим в качестве примера смешанную периодическую дробь $0,4(9)$.

Обозначим эту дробь через $x$:

$x = 0,4(9) = 0,4999...$

Для того чтобы преобразовать эту дробь, необходимо избавиться от бесконечного периода. Сначала умножим обе части уравнения на 10, чтобы в левой части от десятичной запятой оказалась непериодическая часть дроби (цифра 4):

$10x = 4,999...$

Затем умножим исходное уравнение на 100, чтобы сдвинуть запятую еще на один знак вправо, за первую цифру периода:

$100x = 49,999...$

Теперь у нас есть два уравнения, в которых дробные части одинаковы и равны $0,999...$. Вычтем из второго уравнения первое:

$100x - 10x = 49,999... - 4,999...$

При вычитании бесконечные периодические части (хвосты из девяток) взаимно уничтожаются:

$90x = 45$

Теперь решим полученное простое линейное уравнение относительно $x$:

$x = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}$

Переведем обыкновенную дробь $\frac{1}{2}$ в десятичную:

$x = 0,5$

Таким образом, мы показали на примере, что периодическая дробь $0,4(9)$ равна конечной десятичной дроби $0,5$.

Этот метод применим для любой дроби с периодом 9. Общее правило заключается в том, что для преобразования такой дроби в конечную нужно отбросить период (девятки) и увеличить последнюю цифру перед периодом на единицу. Например, $0,(9) = 1$; $3,1(9) = 3,2$; $5,82(9) = 5,83$.

Ответ: Периодическую дробь с периодом 9 можно превратить в конечную десятичную дробь путем алгебраических преобразований. Например, для дроби $x = 0,4(9)$ составляется система уравнений: $10x = 4,(9)$ и $100x = 49,(9)$. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $90x = 45$, откуда $x = \frac{45}{90} = 0,5$. Таким образом, периодическая дробь $0,4(9)$ равна конечной десятичной дроби $0,5$.