Страница 26 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

90. Покажите на примере, как периодическую дробь с периодом 9 можно превратить в конечную десятичную дробь.

Чтобы показать, как периодическую дробь с периодом 9 можно превратить в конечную десятичную дробь, рассмотрим в качестве примера смешанную периодическую дробь $0,4(9)$.

Обозначим эту дробь через $x$:

$x = 0,4(9) = 0,4999...$

Для того чтобы преобразовать эту дробь, необходимо избавиться от бесконечного периода. Сначала умножим обе части уравнения на 10, чтобы в левой части от десятичной запятой оказалась непериодическая часть дроби (цифра 4):

$10x = 4,999...$

Затем умножим исходное уравнение на 100, чтобы сдвинуть запятую еще на один знак вправо, за первую цифру периода:

$100x = 49,999...$

Теперь у нас есть два уравнения, в которых дробные части одинаковы и равны $0,999...$. Вычтем из второго уравнения первое:

$100x - 10x = 49,999... - 4,999...$

При вычитании бесконечные периодические части (хвосты из девяток) взаимно уничтожаются:

$90x = 45$

Теперь решим полученное простое линейное уравнение относительно $x$:

$x = \frac{45}{90} = \frac{1}{2}$

Переведем обыкновенную дробь $\frac{1}{2}$ в десятичную:

$x = 0,5$

Таким образом, мы показали на примере, что периодическая дробь $0,4(9)$ равна конечной десятичной дроби $0,5$.

Этот метод применим для любой дроби с периодом 9. Общее правило заключается в том, что для преобразования такой дроби в конечную нужно отбросить период (девятки) и увеличить последнюю цифру перед периодом на единицу. Например, $0,(9) = 1$; $3,1(9) = 3,2$; $5,82(9) = 5,83$.

Ответ: Периодическую дробь с периодом 9 можно превратить в конечную десятичную дробь путем алгебраических преобразований. Например, для дроби $x = 0,4(9)$ составляется система уравнений: $10x = 4,(9)$ и $100x = 49,(9)$. Вычитая первое уравнение из второго, получаем $90x = 45$, откуда $x = \frac{45}{90} = 0,5$. Таким образом, периодическая дробь $0,4(9)$ равна конечной десятичной дроби $0,5$.

91. Запишите периодические дроби в виде обыкновенных дробей:

a) $1,(0)$; $0,(3)$; $0,(7)$;

б) $0,1(2)$; $1,12(3)$; $7,5(4)$;

в) $0,(12)$; $1,0(12)$; $8,7(21)$;

г) $23,5(0)$; $23,5(1)$; $23,5(13)$; $23,5(127)$.

а)

Для числа $1,(0)$:

Периодическая дробь $1,(0)$ означает $1,000...$, что является целым числом 1. В виде обыкновенной дроби это можно записать как $\frac{1}{1}$.

Ответ: $1$

Для числа $0,(3)$:

Пусть $x = 0,(3) = 0,333...$

Умножим обе части уравнения на 10, чтобы сдвинуть период на одну цифру влево: $10x = 3,333...$

Вычтем исходное уравнение из полученного: $10x - x = 3,333... - 0,333...$

$9x = 3$

$x = \frac{3}{9}$

Сократим дробь: $x = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

Для числа $0,(7)$:

Пусть $x = 0,(7) = 0,777...$

Умножим обе части на 10: $10x = 7,777...$

Вычтем исходное уравнение: $10x - x = 7,777... - 0,777...$

$9x = 7$

$x = \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9}$

б)

Для числа $0,1(2)$:

Пусть $x = 0,1(2) = 0,1222...$

Умножим на 10, чтобы избавиться от непериодической части в дробной части: $10x = 1,222... = 1,(2)$

Умножим еще раз на 10, чтобы сдвинуть период: $100x = 12,222... = 12,(2)$

Вычтем первое уравнение из второго: $100x - 10x = 12,(2) - 1,(2)$

$90x = 11$

$x = \frac{11}{90}$

Ответ: $\frac{11}{90}$

Для числа $1,12(3)$:

Пусть $x = 1,12(3) = 1,12333...$

Умножим на 100: $100x = 112,333... = 112,(3)$

Умножим на 1000: $1000x = 1123,333... = 1123,(3)$

Вычтем: $1000x - 100x = 1123,(3) - 112,(3)$

$900x = 1011$

$x = \frac{1011}{900}$

Сократим дробь на 3: $x = \frac{337}{300}$

Ответ: $\frac{337}{300}$

Для числа $7,5(4)$:

Пусть $x = 7,5(4) = 7,5444...$

Умножим на 10: $10x = 75,444... = 75,(4)$

Умножим на 100: $100x = 754,444... = 754,(4)$

Вычтем: $100x - 10x = 754,(4) - 75,(4)$

$90x = 679$

$x = \frac{679}{90}$

Ответ: $\frac{679}{90}$

в)

Для числа $0,(12)$:

Пусть $x = 0,(12) = 0,121212...$

Умножим на 100 (так как в периоде 2 цифры): $100x = 12,121212... = 12,(12)$

Вычтем: $100x - x = 12,(12) - 0,(12)$

$99x = 12$

$x = \frac{12}{99}$

Сократим на 3: $x = \frac{4}{33}$

Ответ: $\frac{4}{33}$

Для числа $1,0(12)$:

Пусть $x = 1,0(12) = 1,0121212...$

Умножим на 10: $10x = 10,121212... = 10,(12)$

Умножим на 1000: $1000x = 1012,121212... = 1012,(12)$

Вычтем: $1000x - 10x = 1012,(12) - 10,(12)$

$990x = 1002$

$x = \frac{1002}{990}$

Сократим на 6: $x = \frac{167}{165}$

Ответ: $\frac{167}{165}$

Для числа $8,7(21)$:

Пусть $x = 8,7(21) = 8,7212121...$

Умножим на 10: $10x = 87,212121... = 87,(21)$

Умножим на 1000: $1000x = 8721,212121... = 8721,(21)$

Вычтем: $1000x - 10x = 8721,(21) - 87,(21)$

$990x = 8634$

$x = \frac{8634}{990}$

Сократим на 6: $x = \frac{1439}{165}$

Ответ: $\frac{1439}{165}$

г)

Для числа $23,5(0)$:

Дробь $23,5(0)$ равна конечной десятичной дроби $23,5$.

$23,5 = 23\frac{5}{10} = 23\frac{1}{2} = \frac{47}{2}$

Ответ: $\frac{47}{2}$

Для числа $23,5(1)$:

Пусть $x = 23,5(1) = 23,5111...$

Умножим на 10: $10x = 235,111... = 235,(1)$

Умножим на 100: $100x = 2351,111... = 2351,(1)$

Вычтем: $100x - 10x = 2351,(1) - 235,(1)$

$90x = 2116$

$x = \frac{2116}{90}$

Сократим на 2: $x = \frac{1058}{45}$

Ответ: $\frac{1058}{45}$

Для числа $23,5(13)$:

Пусть $x = 23,5(13) = 23,5131313...$

Умножим на 10: $10x = 235,131313... = 235,(13)$

Умножим на 1000: $1000x = 23513,131313... = 23513,(13)$

Вычтем: $1000x - 10x = 23513,(13) - 235,(13)$

$990x = 23278$

$x = \frac{23278}{990}$

Сократим на 2: $x = \frac{11639}{495}$

Ответ: $\frac{11639}{495}$

Для числа $23,5(127)$:

Пусть $x = 23,5(127) = 23,5127127...$

Умножим на 10: $10x = 235,127127... = 235,(127)$

Умножим на 10000: $10000x = 235127,127127... = 235127,(127)$

Вычтем: $10000x - 10x = 235127,(127) - 235,(127)$

$9990x = 234892$

$x = \frac{234892}{9990}$

Сократим на 2: $x = \frac{117446}{4995}$

Ответ: $\frac{117446}{4995}$

92. Найдите десятичное разложение обыкновенной дроби:

а) $ \frac{4}{9} $;

б) $ \frac{17}{25} $;

в) $ \frac{689}{4950} $;

г) $ \frac{5}{16} $.

а) Чтобы найти десятичное разложение дроби $\frac{4}{9}$, нужно разделить числитель 4 на знаменатель 9. Выполняя деление столбиком, получаем: $4 \div 9 = 0$ с остатком 4. Далее, дописывая ноль, делим 40 на 9, получаем 4 с остатком 4. Этот процесс повторяется бесконечно, так как остаток 4 будет появляться на каждом шаге. Следовательно, в частном после запятой будет бесконечно повторяться цифра 4. Такая дробь называется бесконечной периодической, а её десятичное разложение записывается с использованием скобок для указания периода.
Ответ: $\frac{4}{9} = 0,(4)$

б) Чтобы найти десятичное разложение дроби $\frac{17}{25}$, можно привести знаменатель к степени числа 10. Знаменатель 25 является делителем числа 100 ($25 \times 4 = 100$). Умножим числитель и знаменатель дроби на 4, чтобы получить в знаменателе 100: $\frac{17}{25} = \frac{17 \times 4}{25 \times 4} = \frac{68}{100}$. Полученную дробь легко записать в виде конечной десятичной дроби.
Ответ: $\frac{17}{25} = 0,68$

в) Для нахождения десятичного разложения дроби $\frac{689}{4950}$ выполним деление числителя 689 на знаменатель 4950 столбиком. $689 \div 4950 = 0$ (остаток 689). $6890 \div 4950 = 1$ (остаток $6890 - 4950 = 1940$). $19400 \div 4950 = 3$ (остаток $19400 - 14850 = 4550$). $45500 \div 4950 = 9$ (остаток $45500 - 44550 = 950$). $9500 \div 4950 = 1$ (остаток $9500 - 4950 = 4550$). На этом шаге мы видим, что остаток 4550 повторился. Это означает, что дальнейшее деление приведет к повторению последовательности цифр в частном. Таким образом, группа цифр 91 будет повторяться. Это смешанная периодическая дробь.
Ответ: $\frac{689}{4950} = 0,139191... = 0,13(91)$

г) Чтобы найти десятичное разложение дроби $\frac{5}{16}$, можно привести знаменатель к степени числа 10. Знаменатель $16 = 2^4$. Чтобы получить степень десяти ($10^n = (2 \times 5)^n = 2^n \times 5^n$), нужно домножить знаменатель на $5^4$. Вычисляем $5^4 = 625$. Умножим числитель и знаменатель на 625: $\frac{5}{16} = \frac{5 \times 625}{16 \times 625} = \frac{3125}{2^4 \times 5^4} = \frac{3125}{10^4} = \frac{3125}{10000}$. Эта дробь записывается как конечная десятичная дробь 0,3125.
Ответ: $\frac{5}{16} = 0,3125$

93. Запишите в виде периодической дроби:

а) $\frac{7}{40}$;

б) $19$;

в) $\frac{1}{7}$;

г) $\frac{3}{11}$;

д) $\frac{5}{9}$;

е) $\frac{17}{99}$;

ж) $\frac{8}{999}$;

з) $\frac{2007}{9999}$.

а) Чтобы представить дробь $\frac{7}{40}$ в виде десятичной, разделим числитель на знаменатель. Это можно сделать, выполнив деление столбиком, или домножив числитель и знаменатель на такое число, чтобы в знаменателе получилось число вида $10^n$. В данном случае домножим на 25:
$\frac{7}{40} = \frac{7 \cdot 25}{40 \cdot 25} = \frac{175}{1000} = 0,175$.
Получилась конечная десятичная дробь. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде бесконечной периодической дроби, дописав в периоде ноль.
Ответ: $0,175(0)$.

б) Целое число $19$ можно записать в виде десятичной дроби как $19,0$. Чтобы представить это число в виде периодической дроби, нужно добавить бесконечное количество нулей после запятой, что соответствует периоду, равному нулю.
$19 = 19,000... = 19,(0)$.
Ответ: $19,(0)$.

в) Чтобы перевести дробь $\frac{1}{7}$ в периодическую, выполним деление числителя на знаменатель столбиком.
$1 \div 7 = 0,142857142857...$
При делении остатки начинают циклически повторяться, что приводит к повторению группы цифр $142857$ в частном. Эта группа цифр и является периодом дроби.
Ответ: $0,(142857)$.

г) Для перевода дроби $\frac{3}{11}$ в периодическую, разделим $3$ на $11$.
$3 \div 11 = 0,272727...$
При делении мы получаем повторяющуюся группу цифр $27$. Таким образом, период дроби равен $27$.
Ответ: $0,(27)$.

д) Для дробей, у которых знаменатель равен 9, существует простое правило: такая дробь обращается в чистую периодическую дробь, где период равен числителю.
$5 \div 9 = 0,555... = 0,(5)$.
Ответ: $0,(5)$.

е) Аналогично предыдущему пункту, для дробей со знаменателем 99, 999 и т.д. существует правило. Для дроби $\frac{17}{99}$ период будет состоять из двух цифр и будет равен числителю.
$17 \div 99 = 0,171717... = 0,(17)$.
Ответ: $0,(17)$.

ж) Для дроби $\frac{8}{999}$ период будет состоять из трех цифр. Так как числитель 8 — однозначное число, мы представляем его как трехзначное, добавляя нули спереди: $008$.
$\frac{8}{999} = 0,008008008... = 0,(008)$.
Ответ: $0,(008)$.

з) Для дроби $\frac{2007}{9999}$ период будет состоять из четырех цифр и будет равен числителю $2007$.
$\frac{2007}{9999} = 0,20072007... = 0,(2007)$.
Ответ: $0,(2007)$.