Страница 19 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

75. Запишите десятичную дробь в виде обыкновенной несократимой дроби:

а) $0,4$;

б) $0,12$;

в) $0,125$;

г) $1,2$;

д) $0,45$;

е) $0,0018$.

Чтобы преобразовать десятичную дробь в обыкновенную, нужно представить её в виде дроби, где в числителе будет число из десятичной дроби без запятой, а в знаменателе — единица с таким количеством нулей, сколько цифр стоит после запятой. После этого полученную дробь необходимо сократить до несократимого вида, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

а) 0,4

Десятичная дробь 0,4 читается как «четыре десятых». Запишем её в виде обыкновенной дроби. В числитель ставим 4, в знаменатель — 10.

$0,4 = \frac{4}{10}$

Теперь сократим эту дробь. Наибольший общий делитель для чисел 4 и 10 равен 2. Разделим числитель и знаменатель на 2:

$\frac{4 \div 2}{10 \div 2} = \frac{2}{5}$

Дробь $\frac{2}{5}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{2}{5}$

б) 0,12

Десятичная дробь 0,12 читается как «двенадцать сотых». В числитель ставим 12, в знаменатель — 100, так как после запятой две цифры.

$0,12 = \frac{12}{100}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 12 и 100 равен 4. Разделим числитель и знаменатель на 4:

$\frac{12 \div 4}{100 \div 4} = \frac{3}{25}$

Дробь $\frac{3}{25}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{3}{25}$

в) 0,125

Десятичная дробь 0,125 читается как «сто двадцать пять тысячных». В числитель ставим 125, в знаменатель — 1000, так как после запятой три цифры.

$0,125 = \frac{125}{1000}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 125 и 1000 равен 125. Разделим числитель и знаменатель на 125:

$\frac{125 \div 125}{1000 \div 125} = \frac{1}{8}$

Дробь $\frac{1}{8}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{1}{8}$

г) 1,2

Десятичная дробь 1,2 читается как «одна целая две десятых» или «двенадцать десятых». Запишем её в виде неправильной обыкновенной дроби. В числитель ставим 12, в знаменатель — 10.

$1,2 = \frac{12}{10}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 12 и 10 равен 2. Разделим числитель и знаменатель на 2:

$\frac{12 \div 2}{10 \div 2} = \frac{6}{5}$

Дробь $\frac{6}{5}$ является несократимой. Её также можно представить в виде смешанного числа $1\frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{6}{5}$

д) 0,45

Десятичная дробь 0,45 читается как «сорок пять сотых». В числитель ставим 45, в знаменатель — 100.

$0,45 = \frac{45}{100}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 45 и 100 равен 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:

$\frac{45 \div 5}{100 \div 5} = \frac{9}{20}$

Дробь $\frac{9}{20}$ является несократимой.

Ответ: $\frac{9}{20}$

е) 0,0018

Десятичная дробь 0,0018 читается как «восемнадцать десятитысячных». В числитель ставим 18, в знаменатель — 10000, так как после запятой четыре цифры.

$0,0018 = \frac{18}{10000}$

Сократим дробь. Наибольший общий делитель для 18 и 10000 равен 2. Разделим числитель и знаменатель на 2:

$\frac{18 \div 2}{10000 \div 2} = \frac{9}{5000}$

Дробь $\frac{9}{5000}$ является несократимой, так как у числителя (9) и знаменателя (5000) нет общих делителей кроме 1.

Ответ: $\frac{9}{5000}$

76. Запишите дробь в виде дроби, у которой знаменатель является степенью числа 10:

а) $ \frac{1}{2} $;

б) $ \frac{1}{4} $;

в) $ \frac{3}{5} $;

г) $ \frac{1}{25} $;

д) $ \frac{11}{20} $;

е) $ \frac{9}{8} $;

ж) $ 3 $;

з) $ \frac{7}{400} $.

а) Чтобы знаменатель дроби $ \frac{1}{2} $ стал степенью числа 10, нужно домножить его на 5, чтобы получить $2 \cdot 5 = 10$. Домножим числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} $
Ответ: $ \frac{5}{10} $

б) Знаменатель дроби $ \frac{1}{4} $ равен $4 = 2^2$. Чтобы получить в знаменателе степень числа 10, нужно домножить его на $5^2 = 25$. Тогда в знаменателе будет $4 \cdot 25 = 100 = 10^2$. Домножим числитель и знаменатель на 25:
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100} $
Ответ: $ \frac{25}{100} $

в) Чтобы знаменатель дроби $ \frac{3}{5} $ стал степенью числа 10, нужно домножить его на 2, чтобы получить $5 \cdot 2 = 10$. Домножим числитель и знаменатель на 2:
$ \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} $
Ответ: $ \frac{6}{10} $

г) Знаменатель дроби $ \frac{1}{25} $ равен $25 = 5^2$. Чтобы получить в знаменателе степень числа 10, нужно домножить его на $2^2 = 4$. Тогда в знаменателе будет $25 \cdot 4 = 100 = 10^2$. Домножим числитель и знаменатель на 4:
$ \frac{1}{25} = \frac{1 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{4}{100} $
Ответ: $ \frac{4}{100} $

д) Разложим знаменатель дроби $ \frac{11}{20} $ на простые множители: $20 = 2 \cdot 10 = 2^2 \cdot 5^1$. Чтобы получить в знаменателе степень 10, нужно, чтобы степени множителей 2 и 5 были равны. Домножим на $5^1=5$. Тогда в знаменателе будет $2^2 \cdot 5^2 = (2 \cdot 5)^2 = 10^2 = 100$. Домножим числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{11}{20} = \frac{11 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{55}{100} $
Ответ: $ \frac{55}{100} $

е) Разложим знаменатель дроби $ \frac{9}{8} $ на простые множители: $8 = 2^3$. Чтобы получить в знаменателе степень 10, нужно домножить на $5^3 = 125$. Тогда в знаменателе будет $2^3 \cdot 5^3 = (2 \cdot 5)^3 = 10^3 = 1000$. Домножим числитель и знаменатель на 125:
$ \frac{9}{8} = \frac{9 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{1125}{1000} $
Ответ: $ \frac{1125}{1000} $

ж) Целое число 3 можно представить в виде дроби со знаменателем 1: $3 = \frac{3}{1}$. Чтобы знаменатель стал степенью числа 10, можно домножить числитель и знаменатель, например, на 10.
$ 3 = \frac{3}{1} = \frac{3 \cdot 10}{1 \cdot 10} = \frac{30}{10} $
Ответ: $ \frac{30}{10} $

з) Разложим знаменатель дроби $ \frac{7}{400} $ на простые множители: $400 = 4 \cdot 100 = 2^2 \cdot 10^2 = 2^2 \cdot (2 \cdot 5)^2 = 2^4 \cdot 5^2$. Чтобы степени множителей 2 и 5 были равны, нужно домножить на $5^2 = 25$. Тогда в знаменателе будет $2^4 \cdot 5^4 = (2 \cdot 5)^4 = 10^4 = 10000$. Домножим числитель и знаменатель на 25:
$ \frac{7}{400} = \frac{7 \cdot 25}{400 \cdot 25} = \frac{175}{10000} $
Ответ: $ \frac{175}{10000} $

77. Разложите данные обыкновенные дроби в десятичные двумя способами: $\frac{1}{4}$; $\frac{4}{5}$; $\frac{24}{15}$.

Для дроби $\frac{1}{4}$

1-й способ: приведение знаменателя к степени 10.

Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в десятичную этим способом, нужно домножить её числитель и знаменатель на такое число, чтобы в знаменателе получилось 10, 100, 1000 и т.д. Для дроби $\frac{1}{4}$ знаменатель равен 4. Мы можем получить 100, умножив 4 на 25.

$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 25}{4 \times 25} = \frac{25}{100} = 0,25$

2-й способ: деление числителя на знаменатель.

Этот способ заключается в прямом делении числителя на знаменатель (обычно "в столбик" или "уголком").

Разделим 1 на 4. Так как 1 меньше 4, целая часть частного равна 0. Ставим запятую. Сносим 0, получаем 10. $10 \div 4 = 2$ (остаток 2). Записываем 2 после запятой. К остатку 2 сносим 0, получаем 20. $20 \div 4 = 5$ (остаток 0). Деление окончено.

$1 \div 4 = 0,25$

Ответ: 0,25

Для дроби $\frac{4}{5}$

1-й способ: приведение знаменателя к степени 10.

Знаменатель дроби равен 5. Чтобы получить в знаменателе 10, нужно умножить 5 на 2. Домножим на 2 числитель и знаменатель дроби:

$\frac{4}{5} = \frac{4 \times 2}{5 \times 2} = \frac{8}{10} = 0,8$

2-й способ: деление числителя на знаменатель.

Разделим числитель 4 на знаменатель 5.

Так как 4 меньше 5, целая часть равна 0. Ставим запятую. Сносим 0, получаем 40. $40 \div 5 = 8$ (остаток 0). Деление окончено.

$4 \div 5 = 0,8$

Ответ: 0,8

Для дроби $\frac{24}{15}$

Прежде чем выполнять преобразование, целесообразно упростить (сократить) дробь. Числитель и знаменатель дроби $\frac{24}{15}$ делятся на 3.

$\frac{24}{15} = \frac{24 \div 3}{15 \div 3} = \frac{8}{5}$

Теперь будем преобразовывать в десятичную дробь упрощенную дробь $\frac{8}{5}$.

1-й способ: приведение знаменателя к степени 10.

Знаменатель дроби $\frac{8}{5}$ равен 5. Чтобы получить в знаменателе 10, нужно умножить его на 2. Домножим на 2 числитель и знаменатель:

$\frac{8}{5} = \frac{8 \times 2}{5 \times 2} = \frac{16}{10} = 1,6$

2-й способ: деление числителя на знаменатель.

Разделим числитель 8 на знаменатель 5.

$8 \div 5 = 1$ (остаток 3). Целая часть равна 1. Ставим запятую. К остатку 3 сносим 0, получаем 30. $30 \div 5 = 6$ (остаток 0). Деление окончено. Результат тот же, если бы мы делили 24 на 15.

$8 \div 5 = 1,6$

Ответ: 1,6

78. Разложите данные дроби в десятичные с помощью деления уголком:

a) $ \frac{7}{5} $, $ \frac{3}{16} $, $ \frac{48}{15} $;

б) $ \frac{3}{2000} $, $ \frac{17}{40} $, $ \frac{28}{140} $;

в) $ \frac{3}{12} $, $ \frac{7}{56} $, $ \frac{6}{24} $;

г) $ \frac{7}{4} $, $ \frac{3}{2} $, $ \frac{9}{5} $;

д) $ \frac{3}{25} $, $ \frac{12}{75} $, $ \frac{17}{200} $;

е) $ \frac{123}{20} $, $ \frac{783}{540} $, $ \frac{324}{25} $;

ж) $ \frac{625}{125} $, $ \frac{860}{400} $, $ \frac{33}{60} $;

з) $ \frac{1024}{256} $, $ \frac{804}{400} $, $ \frac{624}{120} $.

а)
Чтобы разложить дробь $\frac{7}{5}$ в десятичную, делим числитель 7 на знаменатель 5 уголком. $7 \div 5 = 1$ с остатком 2. Сносим 0, получаем $20 \div 5 = 4$. Результат: $1.4$.
Для дроби $\frac{3}{16}$ делим 3 на 16. Так как 3 меньше 16, начинаем с нуля и запятой. $30 \div 16 = 1$ (остаток 14). Сносим 0, получаем $140 \div 16 = 8$ (остаток 12). Сносим 0, получаем $120 \div 16 = 7$ (остаток 8). Сносим 0, получаем $80 \div 16 = 5$. Результат: $0.1875$.
Для дроби $\frac{48}{15}$ делим 48 на 15. $48 \div 15 = 3$ с остатком 3. Сносим 0, получаем $30 \div 15 = 2$. Результат: $3.2$.
Ответ: $1.4$; $0.1875$; $3.2$.

б)
Для дроби $\frac{3}{2000}$ делим 3 на 2000. $3000 \div 2000 = 1$ (остаток 1000). $10000 \div 2000 = 5$. Учитывая три нуля после запятой, пока мы дошли до 3000, получаем $0.0015$.
Для дроби $\frac{17}{40}$ делим 17 на 40. $170 \div 40 = 4$ (остаток 10). $100 \div 40 = 2$ (остаток 20). $200 \div 40 = 5$. Результат: $0.425$.
Для дроби $\frac{28}{140}$ сначала сократим ее на 28: $\frac{28}{140} = \frac{1}{5}$. Деление 1 на 5 дает $0.2$.
Ответ: $0.0015$; $0.425$; $0.2$.

в)
Дробь $\frac{3}{12}$ сокращается на 3, получаем $\frac{1}{4}$. Деление 1 на 4 дает $0.25$.
Дробь $\frac{7}{56}$ сокращается на 7, получаем $\frac{1}{8}$. Делим 1 на 8. $10 \div 8 = 1$ (остаток 2), $20 \div 8 = 2$ (остаток 4), $40 \div 8 = 5$. Результат: $0.125$.
Дробь $\frac{6}{24}$ сокращается на 6, получаем $\frac{1}{4}$, что равно $0.25$.
Ответ: $0.25$; $0.125$; $0.25$.

г)
Для дроби $\frac{7}{4}$ делим 7 на 4. $7 \div 4 = 1$ (остаток 3). $30 \div 4 = 7$ (остаток 2). $20 \div 4 = 5$. Результат: $1.75$.
Для дроби $\frac{3}{2}$ делим 3 на 2. $3 \div 2 = 1$ (остаток 1). $10 \div 2 = 5$. Результат: $1.5$.
Для дроби $\frac{9}{5}$ делим 9 на 5. $9 \div 5 = 1$ (остаток 4). $40 \div 5 = 8$. Результат: $1.8$.
Ответ: $1.75$; $1.5$; $1.8$.

д)
Для дроби $\frac{3}{25}$ делим 3 на 25. $30 \div 25 = 1$ (остаток 5). $50 \div 25 = 2$. Результат: $0.12$.
Дробь $\frac{12}{75}$ сокращаем на 3, получаем $\frac{4}{25}$. Делим 4 на 25. $40 \div 25 = 1$ (остаток 15). $150 \div 25 = 6$. Результат: $0.16$.
Для дроби $\frac{17}{200}$ делим 17 на 200. $170 \div 200 = 0$. $1700 \div 200 = 8$ (остаток 100). $1000 \div 200 = 5$. Результат: $0.085$.
Ответ: $0.12$; $0.16$; $0.085$.

е)
Для дроби $\frac{123}{20}$ делим 123 на 20. $123 \div 20 = 6$ (остаток 3). $30 \div 20 = 1$ (остаток 10). $100 \div 20 = 5$. Результат: $6.15$.
Для дроби $\frac{783}{540}$ делим 783 на 540. $783 \div 540 = 1$ (остаток 243). $2430 \div 540 = 4$ (остаток 270). $2700 \div 540 = 5$. Результат: $1.45$.
Для дроби $\frac{324}{25}$ делим 324 на 25. $324 \div 25 = 12$ (остаток 24). $240 \div 25 = 9$ (остаток 15). $150 \div 25 = 6$. Результат: $12.96$.
Ответ: $6.15$; $1.45$; $12.96$.

ж)
Для дроби $\frac{625}{125}$ делим 625 на 125. $625 \div 125 = 5$. Результат: $5$.
Дробь $\frac{860}{400}$ сокращаем до $\frac{86}{40} = \frac{43}{20}$. Делим 43 на 20, получаем $2.15$.
Дробь $\frac{33}{60}$ сокращаем до $\frac{11}{20}$. Делим 11 на 20, получаем $0.55$.
Ответ: $5$; $2.15$; $0.55$.

з)
Для дроби $\frac{1024}{256}$ делим 1024 на 256. $1024 \div 256 = 4$. Результат: $4$.
Дробь $\frac{804}{400}$ сокращаем на 4, получаем $\frac{201}{100}$, что равно $2.01$.
Дробь $\frac{624}{120}$ сокращаем на 24, получаем $\frac{26}{5}$. Делим 26 на 5, получаем $5.2$.
Ответ: $4$; $2.01$; $5.2$.

79. Возможно ли разложение данной дроби в конечную десятичную дробь:

a) $ \frac{1}{7} $;

б) $ \frac{6}{48} $;

в) $ \frac{7}{352} $;

г) $ \frac{12}{56} $;

д) $ \frac{120}{38} $;

е) $ \frac{12}{96} $?

Для того чтобы обыкновенную дробь можно было представить в виде конечной десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы знаменатель этой дроби, после её сокращения до несократимого вида, не содержал никаких других простых множителей, кроме 2 и 5. Проверим каждую из данных дробей, следуя этому правилу.

а) $\frac{1}{7}$

Данная дробь несократима. Знаменатель равен 7. Это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, разложение данной дроби в конечную десятичную дробь невозможно.

Ответ: Нет

б) $\frac{6}{48}$

Сначала сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 6: $\frac{6}{48} = \frac{6 \div 6}{48 \div 6} = \frac{1}{8}$.
Знаменатель полученной несократимой дроби равен 8. Разложим знаменатель на простые множители: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
Поскольку в разложении знаменателя присутствует только простой множитель 2, разложение дроби в конечную десятичную дробь возможно.

Ответ: Да

в) $\frac{7}{352}$

Проверим, является ли дробь сократимой. Числитель 7 — простое число. Проверим, делится ли знаменатель 352 на 7: $352 \div 7 \approx 50.28$. Деление не является целочисленным, значит дробь несократима.
Разложим знаменатель 352 на простые множители: $352 = 2 \cdot 176 = 2 \cdot 2 \cdot 88 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 44 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 = 2^5 \cdot 11$.
В разложении знаменателя присутствует простой множитель 11, который отличен от 2 и 5. Следовательно, разложение данной дроби в конечную десятичную дробь невозможно.

Ответ: Нет

г) $\frac{12}{56}$

Сначала сократим дробь. Наибольший общий делитель для 12 и 56 равен 4: $\frac{12}{56} = \frac{12 \div 4}{56 \div 4} = \frac{3}{14}$.
Знаменатель полученной несократимой дроби равен 14. Разложим знаменатель на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$.
В разложении знаменателя присутствует простой множитель 7, который отличен от 2 и 5. Следовательно, разложение данной дроби в конечную десятичную дробь невозможно.

Ответ: Нет

д) $\frac{120}{38}$

Сначала сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{120}{38} = \frac{120 \div 2}{38 \div 2} = \frac{60}{19}$.
Знаменатель полученной несократимой дроби равен 19. Это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, разложение данной дроби в конечную десятичную дробь невозможно.

Ответ: Нет

е) $\frac{12}{96}$

Сначала сократим дробь. Наибольший общий делитель для 12 и 96 равен 12: $\frac{12}{96} = \frac{12 \div 12}{96 \div 12} = \frac{1}{8}$.
Знаменатель полученной несократимой дроби равен 8. Разложим знаменатель на простые множители: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
Поскольку в разложении знаменателя присутствует только простой множитель 2, разложение дроби в конечную десятичную дробь возможно.

Ответ: Да