Страница 22 - гдз по алгебре 7 класс учебник Никольский, Потапов

80. В каком случае несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь?

Чтобы понять, в каком случае несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную, необходимо сначала определить условие, при котором она разлагается.

Конечная десятичная дробь — это, по определению, дробь, которую можно представить со знаменателем, равным степени числа 10 (например, $10^1=10$, $10^2=100$, $10^3=1000$ и так далее). Разложим число 10 на простые множители: $10 = 2 \times 5$. Это означает, что любая натуральная степень числа 10 будет состоять только из произведения простых множителей 2 и 5: $10^n = (2 \times 5)^n = 2^n \times 5^n$.

Рассмотрим несократимую обыкновенную дробь вида $\frac{p}{q}$. Чтобы ее можно было преобразовать в конечную десятичную, мы должны иметь возможность привести ее к эквивалентной дроби со знаменателем $10^n$ путем домножения числителя и знаменателя на некоторое целое число. Это возможно тогда и только тогда, когда знаменатель $q$ исходной несократимой дроби уже состоит только из простых множителей 2 и 5 (то есть имеет вид $q=2^a \times 5^b$, где $a$ и $b$ — целые неотрицательные числа).

Из этого следует обратное правило: несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь, если в разложении ее знаменателя на простые множители присутствует хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5.

Например, рассмотрим дробь $\frac{5}{12}$. Эта дробь несократима. Ее знаменатель равен $12$. Разложим его на простые множители: $12 = 2 \times 6 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$. Поскольку в разложении знаменателя есть простой множитель 3, эту дробь невозможно представить в виде конечной десятичной. При делении мы получим бесконечную периодическую дробь: $\frac{5}{12} = 0.41666... = 0.41(6)$. Наличие множителя 3 не позволяет "превратить" знаменатель 12 в степень десяти путем умножения на целое число.

Другие примеры:

• $\frac{1}{3}$ (знаменатель 3) = $0.(3)$
• $\frac{4}{7}$ (знаменатель 7) = $0.(571428)$
• $\frac{2}{15}$ (знаменатель $15=3 \times 5$) = $0.1(3)$

Ответ: Несократимая обыкновенная дробь не разлагается в конечную десятичную дробь в том случае, если разложение ее знаменателя на простые множители содержит хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5.

81. Каким способом разлагается любая обыкновенная дробь в десятичную?

Для того чтобы разложить (преобразовать) любую обыкновенную дробь вида $\frac{m}{n}$ в десятичную, необходимо разделить ее числитель $m$ на знаменатель $n$. Эта операция обычно выполняется делением в столбик.

Суть метода заключается в последовательном делении. Если числитель меньше знаменателя, то целая часть десятичной дроби равна нулю, и после него ставится запятая. Затем к числителю (как к первому остатку) дописывается ноль, и выполняется деление на знаменатель. Полученная цифра записывается после запятой. К новому остатку снова дописывается ноль, и процесс продолжается. Деление ведется до тех пор, пока остаток не станет равным нулю, либо пока последовательность остатков не начнет повторяться.

В зависимости от результата деления, получаемая десятичная дробь может быть двух видов:

Конечная десятичная дробь
Такая дробь получается в том случае, когда процесс деления на каком-то шаге заканчивается, то есть остаток становится равным нулю. Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной только тогда, когда знаменатель несократимой дроби не содержит никаких простых множителей, кроме 2 и 5.
Пример: Преобразуем дробь $\frac{7}{20}$.
Делим 7 на 20. Так как 7 < 20, целая часть равна 0. Ставим запятую. Делим 70 на 20, получаем 3 и остаток 10. К остатку 10 приписываем 0, получаем 100. Делим 100 на 20, получаем 5 и остаток 0. Деление закончено.
Результат: $\frac{7}{20} = 0,35$.

Бесконечная периодическая десятичная дробь
Такая дробь получается, если остаток в процессе деления никогда не обращается в ноль. В этом случае остатки, а значит и цифры в частном, начинают циклически повторяться. Повторяющаяся группа цифр называется периодом и при записи заключается в скобки. Это происходит, когда в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители есть хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5.
Пример: Преобразуем дробь $\frac{2}{9}$.
Делим 2 на 9. Целая часть равна 0. Ставим запятую. Делим 20 на 9, получаем 2 и остаток 2. К остатку 2 снова приписываем 0, получаем 20. Делим 20 на 9, снова получаем 2 и остаток 2. Этот процесс будет продолжаться бесконечно.
Результат: $\frac{2}{9} = 0,222... = 0,(2)$.

Ответ: Любая обыкновенная дробь разлагается в десятичную путем деления ее числителя на знаменатель, в результате чего получается либо конечная, либо бесконечная периодическая десятичная дробь.

82. Какие десятичные дроби могут получиться при делении уголком числителя обыкновенной дроби на знаменатель?

При делении числителя обыкновенной дроби на знаменатель происходит преобразование обыкновенной дроби в десятичную. Обыкновенная дробь — это запись любого рационального числа в виде $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное. В результате такого деления могут получиться десятичные дроби двух видов.

Конечные десятичные дроби

Этот вид дроби получается, когда процесс деления уголком завершается, то есть на одном из этапов в остатке получается ноль. В результате десятичная дробь имеет конечное число цифр после запятой.

Например, рассмотрим дробь $\frac{7}{20}$.

$7 \div 20 = 0$ с остатком $7$.
Сносим ноль, делим $70$ на $20$. Получаем $3$ с остатком $10$. Результат: $0,3...$
Сносим ноль, делим $100$ на $20$. Получаем $5$ с остатком $0$. Результат: $0,35$.
Деление завершено, так как остаток равен нулю.

Таким образом, $\frac{7}{20} = 0,35$.

Дробь можно представить в виде конечной десятичной, если знаменатель несократимой дроби при разложении на простые множители содержит только числа 2 и 5.

Бесконечные периодические десятичные дроби

Если в процессе деления остаток ни на одном из шагов не становится равным нулю, то деление продолжается бесконечно. При делении на знаменатель $q$ возможные ненулевые остатки — это натуральные числа от $1$ до $q-1$. Так как количество возможных остатков конечно, на каком-то шаге один из них обязательно повторится. С этого момента последовательность цифр в частном также начнет повторяться. Эта повторяющаяся группа цифр называется периодом дроби.

Например, рассмотрим дробь $\frac{2}{3}$.

$2 \div 3 = 0$ с остатком $2$.
Сносим ноль, делим $20$ на $3$. Получаем $6$ с остатком $2$. Результат: $0,6...$
Остаток $2$ повторился. Это означает, что цифра $6$ в частном будет повторяться бесконечно.

Таким образом, $\frac{2}{3} = 0,666... = 0,(6)$.

Бесконечная периодическая дробь получается в том случае, если в разложении знаменателя несократимой дроби на простые множители присутствует хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5.

Любая обыкновенная дробь является рациональным числом, а любое рациональное число представляется в виде либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дроби. Бесконечные непериодические дроби (например, $\pi \approx 3,1415926...$) являются иррациональными числами и не могут быть получены делением целого числа на натуральное.

Ответ: При делении уголком числителя обыкновенной дроби на знаменатель могут получиться только конечные десятичные дроби или бесконечные периодические десятичные дроби.

83. Как узнать, разлагается обыкновенная дробь в конечную или же в бесконечную десятичную дробь? Приведите примеры.

Чтобы определить, можно ли представить обыкновенную дробь в виде конечной десятичной дроби, необходимо проанализировать ее знаменатель. Для этого существует четкий алгоритм.

Алгоритм определения:

1. Сократите дробь. Это обязательный первый шаг. Необходимо привести дробь к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.
2. Разложите знаменатель на простые множители. У полученной несократимой дроби нужно разложить знаменатель на простые множители.

Правило:

• Обыкновенная дробь разлагается в конечную десятичную дробь, если в разложении ее знаменателя (после сокращения дроби) на простые множители содержатся только числа 2 и 5.
• Обыкновенная дробь разлагается в бесконечную периодическую десятичную дробь, если в разложении ее знаменателя (после сокращения дроби) на простые множители присутствует хотя бы один множитель, отличный от 2 и 5 (например, 3, 7, 11, 13 и т. д.).

Примеры:

1. Дроби, разлагающиеся в конечную десятичную дробь

• Дробь $ \frac{3}{8} $

  Дробь несократимая. Разложим знаменатель на простые множители: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$. В разложении присутствует только множитель 2. Следовательно, дробь конечная.

  Проверка: $ \frac{3}{8} = 0.375 $.

• Дробь $ \frac{7}{20} $

  Дробь несократимая. Разложим знаменатель: $20 = 2 \cdot 10 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5^1$. В разложении присутствуют только множители 2 и 5. Следовательно, дробь конечная.

  Проверка: $ \frac{7}{20} = 0.35 $.

• Дробь $ \frac{18}{150} $

  Сначала сократим дробь. Наибольший общий делитель для 18 и 150 равен 6. $ \frac{18}{150} = \frac{18 \div 6}{150 \div 6} = \frac{3}{25} $. Теперь разложим знаменатель 25: $25 = 5^2$. В разложении присутствует только множитель 5. Следовательно, дробь конечная.

  Проверка: $ \frac{18}{150} = 0.12 $.

2. Дроби, разлагающиеся в бесконечную десятичную дробь

• Дробь $ \frac{1}{3} $

  Дробь несократимая. Знаменатель 3 — это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, дробь бесконечная.

  Проверка: $ \frac{1}{3} = 0.333... = 0.(3) $.

• Дробь $ \frac{5}{12} $

  Дробь несократимая. Разложим знаменатель: $12 = 2 \cdot 6 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$. В разложении присутствует множитель 3. Следовательно, дробь бесконечная.

  Проверка: $ \frac{5}{12} = 0.41666... = 0.41(6) $.

• Дробь $ \frac{4}{11} $

  Дробь несократимая. Знаменатель 11 — это простое число, отличное от 2 и 5. Следовательно, дробь бесконечная.

  Проверка: $ \frac{4}{11} = 0.363636... = 0.(36) $.

Ответ: Чтобы узнать, разлагается ли обыкновенная дробь в конечную или бесконечную десятичную, нужно сначала полностью сократить эту дробь, а затем разложить ее знаменатель на простые множители. Если в разложении знаменателя содержатся только множители 2 и 5, то дробь можно представить в виде конечной десятичной. Если в разложении знаменателя есть хотя бы один простой множитель, отличный от 2 и 5 (например, 3, 7, 11 и т.д.), то дробь будет бесконечной периодической.

84. Как можно записать конечную десятичную дробь или натуральное число в виде бесконечной десятичной дроби? Приведите примеры.

Любую конечную десятичную дробь или натуральное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Это означает, что число будет иметь бесконечное количество цифр после запятой. Существует два основных способа это сделать.

Способ 1: с периодом 0

Это самый простой и интуитивно понятный способ. К конечной десятичной дроби или натуральному числу (которое можно представить с дробной частью, равной нулю) справа дописывается бесконечное количество нулей. В результате получается бесконечная периодическая десятичная дробь с периодом, равным 0. Значение числа при этом не меняется.

Примеры:

1. Натуральное число 25. Записываем его как десятичную дробь: $25,0$. Теперь дописываем бесконечное количество нулей: $25,000...$. Это можно записать в виде бесконечной периодической дроби как $25,(0)$.

2. Конечная десятичная дробь 3,14. Дописываем нули в конец: $3,14000...$. В виде периодической дроби это записывается как $3,14(0)$.

Способ 2: с периодом 9

Этот способ менее очевиден, но также математически корректен. Чтобы представить число в виде бесконечной дроби с периодом 9, нужно выполнить следующие действия:
1. Если число целое, уменьшить его на 1. Если число — конечная десятичная дробь, уменьшить на единицу ее последнюю значащую цифру.
2. Приписать к полученному числу бесконечное количество девяток.

Примеры:

1. Натуральное число 25. Уменьшаем его на 1, получаем 24. Дописываем бесконечное количество девяток: $24,999...$. Это можно записать как $24,(9)$. Можно доказать, что $24,(9) = 25$.

2. Конечная десятичная дробь 3,14. Уменьшаем последнюю цифру (4) на 1, получаем 3,13. Дописываем девятки: $3,13999...$. Это можно записать как $3,13(9)$. Можно доказать, что $3,13(9) = 3,14$.

Таким образом, любое натуральное число или конечная десятичная дробь имеет два представления в виде бесконечной десятичной дроби.

Ответ: Чтобы записать конечную десятичную дробь или натуральное число в виде бесконечной десятичной дроби, можно приписать к нему справа бесконечное количество нулей (получив дробь с периодом 0). Например, натуральное число 5 записывается как $5,000...$ или $5,(0)$, а конечная десятичная дробь 0,67 — как $0,67000...$ или $0,67(0)$. Альтернативно, можно уменьшить последнюю значащую цифру числа на единицу и приписать бесконечное количество девяток (получив дробь с периодом 9). Например, $5 = 4,999... = 4,(9)$, а $0,67 = 0,66999... = 0,66(9)$.

85. Напишите периодические дроби, равные обыкновенным дробям:

а) $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{9}$, $\frac{12}{5}$, $12$;

б) $\frac{24}{30}$, $\frac{36}{48}$, $\frac{4}{7}$, $\frac{45}{63}$;

в) $\frac{20}{41}$, $\frac{15}{37}$, $\frac{5}{21}$, $\frac{17}{42}$;

г) $\frac{8}{9}$, $\frac{7}{9}$, $\frac{5}{9}$, $\frac{3}{9}$;

д) $\frac{13}{99}$, $\frac{25}{99}$, $\frac{71}{99}$, $\frac{42}{99}$;

е) $\frac{123}{999}$, $\frac{12}{999}$, $\frac{5}{999}$.

а)

Для преобразования обыкновенной дроби в десятичную необходимо разделить числитель на знаменатель.

$\frac{1}{3}$: При делении 1 на 3 столбиком получается бесконечная десятичная дробь, в которой цифра 3 повторяется. Это чистая периодическая дробь. $1 \div 3 = 0,333... = 0,(3)$.

$\frac{2}{9}$: Существует правило, что дробь вида $\frac{a}{9}$ равна чистой периодической дроби $0,(a)$. $2 \div 9 = 0,222... = 0,(2)$.

$\frac{12}{5}$: При делении 12 на 5 получается конечная десятичная дробь. Любую конечную десятичную дробь можно представить в виде периодической, добавив в периоде ноль. $12 \div 5 = 2,4 = 2,4000... = 2,4(0)$.

$12$: Целое число также можно представить в виде периодической дроби с периодом ноль. $12 = 12,0 = 12,000... = 12,(0)$.

Ответ: $\frac{1}{3} = 0,(3)$; $\frac{2}{9} = 0,(2)$; $\frac{12}{5} = 2,4(0)$; $12 = 12,(0)$.

б)

$\frac{24}{30}$: Сначала сократим дробь: $\frac{24}{30} = \frac{4}{5}$. Теперь преобразуем в десятичную дробь. $4 \div 5 = 0,8$. Это конечная десятичная дробь, которую записываем как периодическую с периодом 0. $\frac{24}{30} = 0,8(0)$.

$\frac{36}{48}$: Сократим дробь: $\frac{36}{48} = \frac{3}{4}$. Преобразуем в десятичную. $3 \div 4 = 0,75$. Это конечная десятичная дробь. $\frac{36}{48} = 0,75(0)$.

$\frac{4}{7}$: Знаменатель 7 не содержит простых множителей 2 и 5, поэтому дробь будет чисто периодической. Выполним деление столбиком. $4 \div 7 = 0,571428571428... = 0,(571428)$. Период состоит из 6 цифр.

$\frac{45}{63}$: Сократим дробь: $\frac{45}{63} = \frac{5}{7}$. Выполним деление. $5 \div 7 = 0,714285714285... = 0,(714285)$. Период также состоит из 6 цифр.

Ответ: $\frac{24}{30} = 0,8(0)$; $\frac{36}{48} = 0,75(0)$; $\frac{4}{7} = 0,(571428)$; $\frac{45}{63} = 0,(714285)$.

в)

$\frac{20}{41}$: Знаменатель 41 - простое число, не 2 и не 5. Дробь будет чисто периодической. Деление столбиком дает: $20 \div 41 = 0,4878048780... = 0,(48780)$.

$\frac{15}{37}$: Знаменатель 37 - простое число. Дробь будет чисто периодической. $15 \div 37 = 0,405405... = 0,(405)$. Можно также заметить, что $37 \times 27 = 999$, поэтому $\frac{15}{37} = \frac{15 \times 27}{37 \times 27} = \frac{405}{999} = 0,(405)$.

$\frac{5}{21}$: Знаменатель $21=3 \times 7$. Дробь будет чисто периодической. $5 \div 21 = 0,238095238095... = 0,(238095)$.

$\frac{17}{42}$: Знаменатель $42 = 2 \times 3 \times 7$. Наличие множителя 2 означает, что дробь будет смешанной периодической (будет одна цифра после запятой до периода). $17 \div 42 = 0,4047619047619... = 0,4(047619)$.

Ответ: $\frac{20}{41} = 0,(48780)$; $\frac{15}{37} = 0,(405)$; $\frac{5}{21} = 0,(238095)$; $\frac{17}{42} = 0,4(047619)$.

г)

Для дробей со знаменателем 9 существует простое правило: $\frac{a}{9} = 0,(a)$, где $a$ - целое число от 1 до 8.

$\frac{8}{9} = 0,(8)$.

$\frac{7}{9} = 0,(7)$.

$\frac{5}{9} = 0,(5)$.

$\frac{3}{9}$: Сначала сократим дробь: $\frac{3}{9} = \frac{1}{3}$. Как мы уже знаем из пункта а), $\frac{1}{3} = 0,(3)$. Либо по правилу: $\frac{3}{9} = 0,(3)$.

Ответ: $\frac{8}{9} = 0,(8)$; $\frac{7}{9} = 0,(7)$; $\frac{5}{9} = 0,(5)$; $\frac{3}{9} = 0,(3)$.

д)

Для дробей со знаменателем 99 существует правило: $\frac{ab}{99} = 0,(ab)$, где $ab$ - двузначное число (числитель).

$\frac{13}{99} = 0,(13)$.

$\frac{25}{99} = 0,(25)$.

$\frac{71}{99} = 0,(71)$.

$\frac{42}{99} = 0,(42)$. Можно также сократить дробь на 3: $\frac{42}{99} = \frac{14}{33}$. Деление $14 \div 33$ также дает $0,4242... = 0,(42)$.

Ответ: $\frac{13}{99} = 0,(13)$; $\frac{25}{99} = 0,(25)$; $\frac{71}{99} = 0,(71)$; $\frac{42}{99} = 0,(42)$.

е)

Для дробей со знаменателем 999 правило аналогично: $\frac{abc}{999} = 0,(abc)$, где $abc$ - числитель, который при необходимости дополняется ведущими нулями до трех знаков.

$\frac{123}{999} = 0,(123)$. Сокращение на 3 дает $\frac{41}{333}$, что также равно $0,(123)$.

$\frac{12}{999}$: Числитель 12 представляем как 012. $\frac{12}{999} = 0,(012)$.

$\frac{5}{999}$: Числитель 5 представляем как 005. $\frac{5}{999} = 0,(005)$.

Ответ: $\frac{123}{999} = 0,(123)$; $\frac{12}{999} = 0,(012)$; $\frac{5}{999} = 0,(005)$.

86. Подберите обыкновенную дробь, равную периодической дроби:

а) $0,\overline{8}$;

б) $0,\overline{4}$;

в) $0,\overline{13}$;

г) $0,\overline{37}$;

д) $0,\overline{27}$;

е) $0,\overline{125}$.

а)

Чтобы преобразовать чистую периодическую дробь $0,(8)$ в обыкновенную, обозначим эту дробь через $x$.

$x = 0,(8) = 0,888...$

Поскольку в периоде одна цифра, умножим обе части этого равенства на 10:

$10x = 8,888...$

Теперь вычтем из второго уравнения первое, чтобы избавиться от периодической части:

$10x - x = 8,888... - 0,888...$

$9x = 8$

Отсюда находим $x$:

$x = \frac{8}{9}$

Ответ: $\frac{8}{9}$

б)

Обозначим дробь $0,(4)$ через $x$.

$x = 0,(4) = 0,444...$

В периоде одна цифра, поэтому умножаем на 10:

$10x = 4,444...$

Вычитаем исходное уравнение:

$10x - x = 4,444... - 0,444...$

$9x = 4$

$x = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

в)

Обозначим дробь $0,(13)$ через $x$.

$x = 0,(13) = 0,131313...$

Так как в периоде две цифры, умножим уравнение на $10^2 = 100$:

$100x = 13,131313...$

Вычитаем исходное уравнение:

$100x - x = 13,131313... - 0,131313...$

$99x = 13$

$x = \frac{13}{99}$

Ответ: $\frac{13}{99}$

г)

Обозначим дробь $0,(37)$ через $x$.

$x = 0,(37) = 0,373737...$

В периоде две цифры, поэтому умножаем на 100:

$100x = 37,373737...$

Вычитаем исходное уравнение:

$100x - x = 37,373737... - 0,373737...$

$99x = 37$

$x = \frac{37}{99}$

Ответ: $\frac{37}{99}$

д)

Обозначим дробь $0,(27)$ через $x$.

$x = 0,(27) = 0,272727...$

В периоде две цифры, умножаем на 100:

$100x = 27,272727...$

Вычитаем исходное уравнение:

$100x - x = 27,272727... - 0,272727...$

$99x = 27$

$x = \frac{27}{99}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 9.

$x = \frac{27 \div 9}{99 \div 9} = \frac{3}{11}$

Ответ: $\frac{3}{11}$

е)

Обозначим дробь $0,(125)$ через $x$.

$x = 0,(125) = 0,125125...$

Так как в периоде три цифры, умножим уравнение на $10^3 = 1000$:

$1000x = 125,125125...$

Вычитаем исходное уравнение:

$1000x - x = 125,125125... - 0,125125...$

$999x = 125$

$x = \frac{125}{999}$

Проверим, можно ли сократить дробь. Числитель $125 = 5^3$. Знаменатель $999 = 3^3 \times 37$. Общих простых делителей у числителя и знаменателя нет, следовательно, дробь несократима.

Ответ: $\frac{125}{999}$

87. Определите цифру сотого разряда после запятой в записи периодической дроби:

а) $0,(3)$;

б) $0,(25)$;

в) $0,(123)$;

г) $0,5(3)$;

д) $5,2(13)$;

е) $7,2(51)$.

а) 0,(3);

Данная дробь $0,(3)$ является чистой периодической дробью. Её можно записать в виде $0,3333...$. Период дроби состоит из одной цифры «3». Это означает, что каждая цифра после запятой равна 3. Следовательно, цифра сотого разряда после запятой также будет 3.

Ответ: 3

б) 0,(25);

Данная дробь $0,(25)$ является чистой периодической дробью: $0,252525...$. Период дроби «25» состоит из двух цифр. Чтобы найти сотую цифру после запятой, нужно определить, какая из цифр периода будет стоять на сотом месте. Для этого найдем остаток от деления номера разряда (100) на длину периода (2).

$100 \div 2 = 50$ с остатком 0.

Если остаток равен 0, то искомая цифра — это последняя цифра периода. В периоде «25» последняя цифра — 5. Также можно заметить, что на нечетных местах стоят цифры 2, а на четных — 5. Так как 100 — четное число, на сотом месте стоит цифра 5.

Ответ: 5

в) 0,(123);

Данная дробь $0,(123)$ является чистой периодической дробью: $0,123123...$. Период дроби «123» состоит из трех цифр. Чтобы найти сотую цифру, разделим 100 на длину периода, то есть на 3:

$100 = 3 \times 33 + 1$.

Остаток от деления равен 1. Это означает, что на сотом месте будет стоять первая цифра периода. В периоде «123» первая цифра — 1.

Ответ: 1

г) 0,5(3);

Это смешанная периодическая дробь: $0,5333...$. В этой дроби есть одна цифра до периода — «5», она стоит на первом месте после запятой. Период «3» начинается со второго места. Мы ищем цифру на сотом месте. Так как $100 > 1$, эта цифра находится в периодической части. Периодическая часть состоит только из цифры 3. Следовательно, на сотом месте стоит цифра 3.

Ответ: 3

д) 5,2(13);

Это смешанная периодическая дробь: $5,2131313...$. После запятой стоит одна цифра «2» до периода (предпериод). Период «13» начинается со второй позиции после запятой и состоит из двух цифр. Нам нужно найти 100-ю цифру после запятой. Так как первая цифра непериодическая, нам нужно найти $(100 - 1) = 99$-ю цифру в последовательности, образованной периодом, то есть в «131313...».

Чтобы найти 99-ю цифру в этой последовательности, разделим 99 на длину периода 2:

$99 = 2 \times 49 + 1$.

Остаток равен 1. Это значит, что нам нужна первая цифра периода. Первая цифра периода «13» — это 1.

Ответ: 1

е) 7,2(51);

Это смешанная периодическая дробь: $7,2515151...$. После запятой стоит одна цифра «2» в предпериоде. Период «51» начинается со второй позиции после запятой и состоит из двух цифр. Нам нужно найти 100-ю цифру после запятой. Первая цифра — «2». Значит, нам нужно найти $(100 - 1) = 99$-ю цифру в периодической части «515151...».

Длина периода равна 2. Найдем остаток от деления 99 на 2:

$99 = 2 \times 49 + 1$.

Остаток равен 1. Это означает, что искомая цифра является первой цифрой периода «51». Первая цифра периода — это 5.

Ответ: 5